B./ V tejto časti sa budeme venovať grafu funkcie.


Musíme uvažovať napríklad o funkcii g: y = √x, x€ (0,2,4,6). Každému číslu z uvedeného definičného oboru tejto funkcie, t.j. každému číslu z množiny (0,2,4,6) budeme priraďovať druhú odmocninu. Tak dostaneme usporiadanú dvojicu čísel [0,0], [2,√2], [4,2],[6,√6].



Túto usporiadanú dvojicu čísel zapisujeme zvyčajne v tvare tabuľky:


x

0

2

4

6

g(x)

0

√2

2

√6


Každú dvojicu z našej tabuľky teraz môžeme znázorniť v sústave súradníc 0xy. Tak získame graf funkcie g.



rafom funkcie f v sústave súradníc v rovine je množina všetkých bodov X [x,f(x)], kde x€ D(f).



Grafy funkcií sa zvyčajne zobrazujú v karteziánskej sústave súradníc, v ktorej dĺžkové jednotky na oboch osiach sú rovnakej veľkosti. Pozor, niekedy je výhodné znázorniť graf v pravouhlej sústave súradníc a to tak, že jednotky na jednotlivých osiach majú rôzne dĺžky.



Príklad:


Na obrázku je zostrojený graf funkcie s. Z grafu určte:

  1. s(0), s(-3), s(5)

  2. definičný obor funkcie

  3. obor hodnôt funkcie s

 

 

Riešenie:

 

  1. s(0) = 1, s(-3) = -3, s(5) = 2

  2. Definičný obor funkcie s je množina všetkých reálnych čísel x € R, ktorým je priradené také y € R, že y = s(x). Túto množinu určíme tak, že zostrojíme kolmépriemety všetkých bodov, ktoré patria grafu s, do osi x:

 

D(s) = < - 3, - 1> u < 0,5, 5>

 

Obor hodnôt našej funkcie s je množina všetkých reálnych čísel y € R, ku ktorým existuje apoň jedno také x є D (s), že y = s(x). Požadovanú množinu získame tak, že zostrojíme kolmé priemety všetkých bodov , ktoré patria grafu funkcie s, do osi y.

 

H (s) = = < - 3, - 2> u < 2, 6>.

 

 

C./V tejto kapitole preberieme ešte tzv. párnu a nepárnu funkciu.

 

Budeme vychádzať z niektorých vlastností, ktoré funkcia môže mať, pričom budeme využívať graf funkcií ale len v karteziánskej sústave súradníc.

 

 

Príklad:

Zostrojte graf funkcie g: y = x2

 

Vyznačte g(-1) a g(1), Určte, pre ktoré x platí g(x) = 4, g(x) = 0

,

 

 

Riešenie:

Výsledok je na obrázku: g(x) = 4 pre x1= 2 a pre x2= - 2, g(x) = 0 pre x = 0

 

Definičný obor funkcie D(g) pre každé x je R. Platí, že g(x) = g(-x), pretože x2 = (-x)2

 

Preto hovoríme, že táto funkcia je párna.

 

 

Definícia: Funkcia je párna vtedy, ak platí:

 

  1. Pre každé x є D(f) aj –x є D(f)

  2. Pre každé x є D(f) platí f( –x) = f (x)

 

 

Môžeme povedať, že párna funkcia je súmerná podľa osi y.

 

 

Teraz si povieme, kedy je funkcia nepárna. Zostrojíme graf funkcie h: y = 2x.

 

zdroj: http://sis.science.upjs.sk/

 

 

Všimnime si, že číslu -1 je priradené číslo -1, číslu -5 je tiež priradené číslo -5. Tak isto číslu +5 prislúcha hodnota +5 a číslu +10 zasa prislúcha hodnota +10.

 

Môžeme to zapísať: h(-1) = -h(1), h(-5) = -h(5), h(10) = h(10),...

 

Z toho usúdime, že pre každé x є D(h) platí: h(-x) = -h(x) Môžeme povedať, že funkcia je nepárna.

 

 

Definícia: Funkcia je nepárna vtedy, ak platí:

 

  1. Pre každé x є D(f) aj –x є D(f)

  2. Pre každé x є D(f) platí f( –x) = - f(x)

 

Môžeme povedať, že graf nepárnej funkcie je súmerný podľa počiatku súradnicovej sústavy.



Zopakujte si:
1. Zostrojte graf funkcie z: y = 2x + 1

Určte definičný obor a obor hodnôt tejto funkcie z.

2.Zostrojte graf funkcie p: y = 2x2 a rozhodnite, či je funkcia párna alebo nepárna

3.Zostrojte graf funkcie q: y = 4x, zistite, či je funkcia párna alebo nepárna, určte D(f) a

H (f).

Použitá literatúra:
Funkcie pre 1. ročník gymnázií