Nerovnice patria medzi veľmi dôležité matematické úlohy typu:
Máme určiť všetky čísla x z daného číselného oboru M R, pre ktoré sú definované reálne funkcie f, g reálnej premennej x , a pre ich funkčné hodnoty f(x), g(x) platí f(x) >g(x), resp. f(x) < g(x)
Danú úlohu zapisujeme v tomto tvare: f(x) >g(x), x EM
f(x) < g(x), x EM
nazývame ich nerovnice s neznámou x.
Niekedy sa stretávame i so zápisom tohto typu:
f(x) g(x)
f(x) g(x) x EM
Tak ako pri rovniciach, aj v tomto prípade nazývame číselný obor M oborom riešenia nerovnice. Čísla, ktoré vyhovujú nerovnici nazývame koreňmi nerovnice, alebo ich riešením.
Riešenie nerovnice má obdobný postup ako v prípade rovníc.
Ako prvé urobíme rozbor.
V druhej fáze určíme množinu M všetkých riešení danej nerovnice, ktoré získame úpravami danej nerovnice
V tretej fáze – skúška – určíme množinu všetkých riešení nerovnice. V tomto prípade množina často býva nekonečná, sú to intervaly, alebo zjednotenie intervalov.
Štvrtá fáza – diskusia sa uskutočňuje vtedy, ak nerovnica obsahuje premenné koeficienty.
Príklad:
3x 5 4x - 3
Pre ktoré x є R platí: 3 - –––––– > ––– - ––––––
2 8 6
Riešenie:
Obe strany nerovnice vynásobíme číslom 24, čím dostaneme:
72 – 36x > 15 – (16x – 12) upravíme
72 – 15 – 12 > 36x – 16x
20x < 45 z toho
x < 2,25
Skúška:
Nakoľko x je menšie ako 2,25, za x dosadím hodnotu (2,25 – a).
3.(2,25 – a) 3 3a
Ľ: 3 - ––––––––––– = - –––––– + –––
2 8 2
5 9 – 4a 3 2a
P: ––– - –––––– + 0,5 = – –––––– + ––––
8 6 8 3
Takže Ľ > P
Odpoveď: Koreňmi danej rovnice sú reálne čísla x є ( - ∞, 2,25).
Môžeme uskutočniť aj grafické znázornenie na číselnej osi, ktoré vyzerá nasledovne:
Príklad:
Pre ktoré x є R platí:
(x – 1)2 < (x + 1)2
Riešenie:
Dvojčleny ako prvé umocníme podľa vzorcov (a ± b)2 a dostávame:
x2 – 2x + 1 < x2 + 2x + 1 čiže
4x > 0 z toho
x > 0
Odpoveď: Nerovnica je spolnená pre všetky kladné x, t.j. x є (0, ∞) = Mk
