Vypracovala: Ing. Renáta Dvončová
Najskôr si definujme prirodzené číslá - sú to čísla 1,2,3,4,5,.. Množinu všetkých prirodzených čísel označujeme N. Teda N = {1,2,3,4,5,…}.
Prvočíslo je to vlastne prirodzené číslo n >1 práve vtedy, ak nemá žiadne netriviálne delitele.
Teda prirodzené číslo n >1 je prvočíslo práve vtedy, keď je deliteľné číslami 1, -1, n, -n.
Prirodzené číslo n >1, ktoré nie je prvočíslom, sa nazýva zložené číslo.
Najmenšími prvočíslami sú čísla 2, 3, 5, 7, 11, 13,… atď, najmenšie zložené číslo je číslo 4.
Veta:
Nech p je prvočíslo a nech m,n € Z (množina celých čísel). Potom platí:
Ak prvočíslo p delí súčin dvoch čísel, potom delí aspoň jedného z činiteľov. Môžeme to zapísať:
p/m.n potom p/m
alebo p/n
Počet prvočísel:
Už Euklides dokázal, že prvočísel je nekonečne mnoho. Avšak do dnešných čias nejestvuje spôsob, pomocou ktorého by bolo možné určiť všetky prvočísla.
Na vyznačenie všetkých prvočísel menších ako dané prirodzené číslo môžeme použiť metódu nazývanú ERATOSTENOVO SITO. Táto metóda sa zakladá na skutočnosti, že pre najmenšie prirodzené číslo p, ktoré je netriviálnym deliteľom zloženého čísla n, platí:
1< p ≤ √n
Je zrejmé, že toto číslo p je prvočíslo. Pri hľadaní prvočísel menších ako číslo n pomocou spomínaného sita postupujeme takto:
Vypíšeme za sebou prirodzené čísla 1,2,….,n. Vyškrtneme číslo 1, nakoľko nie je prvočíslo. Číslo 2 je prvočíslo, preto ho necháme nevyškrtnuté. Ďalej škrtáme všetky čísla od 3 po n, ktoré sú deliteľné 2. Zostane nám číslo 3, preto je prvočíslo. Teraz škrtáme spomedzi čísel 4, ….n všetky čísla deliteľné 3. Najmenšie spomedzi čísel, ktoré zostalo nevyškrtnuté a je väčšie ako 3, je prvočíslo. Necháme ho a vyškrtneme všetky jeho násobky. Robíme tak dovtedy, pokým je najmenšie nevyškrtnuté číslo väčšie ako √n. Zostaté čísla sú prvočísla.
Treba poznamenať, že táto metóda je neefektívna pre veľké n.
Rozklad na prvočinitele
Ak n > 1 je prirodzené číslo, tak potom ho môžeme vyjadriť ako súčin prvočísel, a to jednoznačne až na poradie činiteľov.
Ak v rozklade n = p1 . p2 ….. pkzlúčime rovnaké prvočísla, dostávame kanonický rozklad čísla n
n = q1a1. q2a2…….= qsas
kde q1 ,q2… sú rôzne prvočísla a a1, a2.. sú prirodzené čísla
Príklad:
Rozložte číslo 600 na prvočísla:
600 = 6.100= 2.3.4.25 = 2.3.2.2.5.5 = 23 . 3 . 52
Najväčší spoločný deliteľ
Nech máme čísla m,n, z ktorých aspoň jedno je rôzne od nuly. Potom číslo k nazývame ich spoločný deliteľ práve vtedy, ak: k/n a k/m.
Najväčší spomedzi spoločných deliteľov sa nazýva najväčší spoločný deliteľ čísel m a n. Označujeme ho D (m,n)
Tieto čísla sú nesúdeliteľné vtedy, ak (m,n) = 1
Napríklad spoločné delitele čísel 16 a 24 sú čísla 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8, teda (16,24) = 8
Definícia:
Nech m,n sú prirodzené čísla. Potom sa prvočíslo p nachádza v kanonickom rozklade čísel (m,n) práve vtedy, keď sa nachádza v rozklade čísla n a zároveň i v m. Navyše mocnina prvočísla p v rozklade našich čísel sa rovná menšej z mocnín prvočísla p v rozkladoch čísel m a n. Túto definíciu uplatňujeme pri hľadaní najväčšieho spoločného deliteľa D.
Príklad:
Určte najväčšieho spoločného deliteľa D čísel 86 a 129.
Riešenie:
Dané čísla si rozložíme na prvočísla:
86 = 2.43
129 = 3.43
Spoločným deliteľom oboch čísel je číslo 43 a zapisujeme to nasledovne:
D(86,129) = 43
Najmenší spoločný násobok
Nech máme opäť dve prirodzené čísla n,m. Potom budeme prirodzené číslo k nazývať spoločným násobkom práve vtedy, ak m/k a zároveň n/k.
Najmenší spomedzi spoločných násobkov sa nazýva najmenší spoločný násobok a označujeme ho n (n,m)
Definícia:
Nech n,m sú prirodzené čísla, potom sa prvočíslo p nachádza v kanonickom rozklade čísla [n,m] práve vtedy, ak sa nachádza v rozklade aspoň jedného z nich . Navyše, mocnina prvočísla p v rozklade sa rovná väčšej z mocnín.
Príklad:
Nájdite NSN čísel: 198, 330
Riešenie:
Robíme rozklad 198 = 2 . 32. 11
330 = 2.3.5.11
Z toho vyplýva: n(198,330) = 2. 32. 5.11 = 990
Použitá literatúra: Prehľad stredoškolskej matematiky