Vzájomné polohy priamok, uhol dvoch priamok v rovine

Vypracoval: Vítek

Pri určovaní vzájomných polôh dvoch priamok v rovine je ideálne, keď poznáme všeobecné rovnice oboch priamok. Už pri letmom pohľade na obe rovnice sa dá veľmi ľahko zistiť, či sú dané priamky rovnobežné, alebo rôznobežné.

Príklad:

Zisti vzájomnú polohu priamok p a q, ak:

p: 3 x - 7 y + 1 = 0

q: -9 x + 21 y - 2 = 0

normálové vektory priamok p a q sú lineárne závislé a teda rovnobežné, čiže aj priamky p a q sú rovnobežné.

p (3,-7), q (-9,21) q = -3 . p

Veľmi jednoducho tento výsledok overíme tak, že sa pokúsime nájsť spoločný bod priamok p a q. Sčitovacou metódou vyriešime sústavu dvoch rovníc s dvomi neznámymi:

3 x - 7 y + 1 = 0 / . 3

-9 x + 21 y - 2 = 0

–––––––––––––––––––

9 x -21 y + 3 = 0

-9 x + 21 y - 2 = 0

–––––––––––––––––––

1 ≠ 0

Sústava nemá riešenie, čiže priamky nemajú spoločný bod a sú teda rovnobežné.

V ďalšom príklade úlohu trochu zmeníme.

Nájdi priesečník dvoch priamok m a n, ak jedna je daná parametricky a druhá všeobecnou rovnicou.

m: 2 x - 9 y - 1 = 0

n: x = 1 + 4 t

y = 4 - 3 t

Parametrickú rovnicu prevedieme na všeobecnú a ako v predchádzajúcom príklade hľadáme spoločný bod.

x = 1 + 4 t / . 3

y = 4 - 3 t / . 4

–––––––––––––––––––

3 x = 3 + 12 t

4 y = 16 - 12 t

–––––––––––––––––––

3 x + 4 y - 19 = 0

Teraz znova riešime sústavu dvoch rovníc s dvoma neznámymi.

2 x - 9 y - 1 = 0 / . 3

3 x + 4 y - 19 = 0 / . (-2 ) 2 x - 9 . 1 - 1 = 0

––––––––––––––––––––––––– 2 x = 10

6 x - 27 y - 3 = 0 x = 5

-6 x - 8 y + 38 = 0

–––––––––––––––––––––––––

- 35 y = -35

––––––––––––––––––––––––

y = 1

Hodnoty neznámych x, y sú zároveň súradnice priesečníka P [5,1] priamok m a n.

Pokiaľ sú priamky rôznobežné, môžeme pomocou ich normálových, alebo smerových vektorov vypočítať aj ich uhol. Počítame ho podľa nasledujúceho vzťahu:

| u . v |

cos α = ––––––––––

| u | . | v |

kde, u . v = u₁ . v₁ + u₂ . v₂ skalárny súčin vektorov

| u | = √ u₁² + u₂² veľkosti vektorov

| v | = √ v₁² + v₂²

Príklad:

Vypočítaj odchýlku priamok , daných všeobecnými rovnicami x - 3 y + 6 = 0,

x + 2 y - 8 = 0

Použijeme normálové vektory oboch priamok:

u ( 1, -3 )

v ( 1, 2 )

Použijeme predchádzajúci vzorec a dosadením dostaneme:

| 1 . 1 + 2 . ( -3 ) | 5 5 √ 2

cos α = –––––––––––––––– = –––––– = –––––– = –––––––

√ 1 + 9 .√ 1 + 4 √ 50 5 . √ 2 2

α = 45°

Odchýlka daných priamok je 45°.