Vypracoval: Igor Vítek
Existuje niekoľko definícií pravdepodobnosti. Ak uvažujeme o náhodnej udalosti, tak pravdepodobnosť tejto náhodnej udalosti je číslo, ktoré vyjadruje mieru možnosti, že nastane daná udalosť.
Pravdepodobnosť náhodnej udalosti A budeme označovať P ( A ) a počítať ju budeme podľa nasledujúceho vzťahu:
m ( A )
P ( A ) = ––––––––
m
pričom m ( A ) je počet výsledkov priaznivých udalostí A
m je počet všetkých možných výsledkov
Pravdepodobnosť P ( A ) je vždy nezáporné číslo: 0 ≤ P ( A ) ≤ 1
Pravdepodobnosť istej udalosti P ( Ω ) = 1
Pravdepodobnosť nemožnej udalosti P ( Ø ) = 0
Začneme jednoduchým príkladom. Aká je pravdepodobnosť, že pri jednom hode hracou kockou padne párne číslo?
m = 6 to sú všetky možné výsledky, čiže čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6.
m ( A ) = 3 to sú všetky výsledky, priaznivé udalosti A, čiže čísla 2, 4, 6.
3 1
P ( A ) = –––––– = –––––– = 0.5
6 2
Samozrejme, pri zložitejších príkladoch sa nezaobídeme bez znalostí kombinatoriky.
Na ilustráciu si ukážeme úlohy s hracími kartami.
Každý pozná hracie karty, preto sú to veľmi vďačné príklady aj pre študentov, ktorí sa matematike radšej vyhýbajú.
Najskôr niečo na zahriatie.
Z 32 hracích kariet náhodne vyberieme jednu. Aká je pravdepodobnosť, že to bude eso?
m = 32 to sú všetky možné výsledky, lebo vyberáme z 32 kariet
m ( A ) = 4 to sú všetky výsledky, priaznivé udalosti A, lebo máme práve 4 esá
4 1
P ( A ) = –––––– = –––––– = 0.125
32 8
V prípade, že vyberáme väčší počet kariet, riešenie už bude zložitejšie, pretože musíme použiť kombinácie.
A znova príklad:
Z 32 hracích kariet náhodne vyberieme štyri. Aká je pravdepodobnosť, že medzi nimi budú dve zelené karty?
Teraz pomocou kombinácií zistíme, že:
32!
m = C4 ( 32 ) = –––––––––––– = 35960
4! ( 32 – 4 )!
8! 24!
m ( A ) = C2 ( 8 ) . C2 ( 24 ) = –––––––––– . ––––––––––– =
2! (8 – 2 )! 2! (24 – 2 )!
= 28.276=7728
kde C2 ( 8 ) vyjadrujú koľkými spôsobmi môžeme vybrať z ôsmych červených kariet ľubovolné dve a C2 ( 24 ) sú dve karty zo zvyšných 24 kariet.
Teda výsledná pravdepodobnosť potom bude:
7728
P ( A ) = ––––––– = 0.214
35960
Na záver ešte jeden príklad:
Lietadlo s 12 cestujúcimi a 3 členmi posádky havarovalo. Zahynulo 6 osôb.
a, Aká je pravdepodobnosť, že zahynula celá posádka?
b, Aká je pravdepodobnosť, že zahynuli práve piati cestujúci?
Riešenie:
a,
C3 ( 3 ) . C3 ( 12 )
P ( A ) = –––––––––––––––––
C6( 15 )
b,
C5( 12 ). C1( 3 )
P ( A ) = –––––––––––––––––
C6( 15 )