Vypracovala: Petra Podmanická


 

 

Medzi základné priestorové útvary (telesá) patria kocka, kváder, valec, kužeľ, ihlan so štvorcovou alebo obdĺžnikovou podstavou, guľa. Za predpokladu, že písmená „a, b, c“ vyjadrujú strany (podľa štandardného značenia), písmeno „v“ výšku, písmeno „r“ polomer a písmeno „d“ priemer, platia pre ne nasledovné vzťahy:



 POVRCH OBJEM
KOCKA S = 6 * a2 V = a3
KVÁDER - štvorcová podstava S = 2 * a2 + 4 * a * c V = a2 * c
KVÁDER - obdĺžniková podstava S = 2 * (ab + ac + bc) V = a * b * c
VALEC S = 2 * π * r2 + 2 * π * r * v V = π * r2 * v
KUŽEĽ

S = π * r2 + π * r * s

 

platí, že:

 

s = sqrt[]{r^{2} + v^{2}}

 V = rac{1}{3} pi * r^{2} * v
IHLAN - štvorcová podstava

S = a2 + 2 * a * q

 

platí, že:

 

q = sqrt[]{ rac{a^{2}}{4} + v^{2}}

 V = rac{1}{3} a^{2} * v
IHLAN - obdĺžniková podstava

S = a * b + a * q1 + b * q2

 

platí, že:

 

q_{1} = sqrt[]{ rac{a^{2}}{4} + v^{2}}

q_{2} = sqrt[]{ rac{b^{2}}{4} + v^{2}}

 V = rac{1}{3} a * b * v
GUĽA S = π * d2 V = rac{4}{3} pi * r^{3}
 

 


 
Medzi útvary, ktoré môžeme z týchto základných telies odvodiť napríklad zrezaním alebo kombináciou patria zrezaný rotačný kužeľ, zrezaný valec, rotačná valcová trubica, pravidelný zrezaný ihlan, guľový odsek, výsek a pás. Platia pre ne vzťahy (ak je v niektorom z nich uvedené napríklad „R“ a „r“ znamená to, že sú to priemery dvoch útvarov, ktoré tvoria jedno teleso):

 

 


 Povrch Objem
Zrezaný rotačný kužeľ S = π * (r22 + r12) + π * (r1 + r2) * s V = rac{1}{3} * pi * v * (r_{2}^{2} + r_{1}^{2} + r_{2} * r_{1})
Zrezaný valec S = π * r * (v1 + v2) V = pi * r^{2} * rac{v_{1} + v_{2}}{2}
Rotačná valcová trubica S = 2 * π * (R + r) * (R - r + v) V = rac{1}{4} * pi * v * (D^{2} - d^{2})
Pravidelný zrezaný ihlan S = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + 2 * (a_{1} + a_{2}) * sqrt[]{( rac{a_{1} - a_{2}}{2})^{2} + v^{2}}   
V = rac{v}{3} * (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{1} * a_{2})
Guľový odsek S = π * (r12 + 2 r v) V = rac{1}{6} * pi * v *(3 r_{1}^{2} + v^{2})
Guľový pás
 S = π * r12 + π * r22 + 2 π * r * v V = rac{1}{6} * pi * v *(v^{2} + 3 r_{1}^{2} + 3 r_{2}^{2})
Guľový výsek S = π * r * (r1 + 2 v) V = rac{2}{3} * pi * v * r^{2}
 

 

 

 

Použitá literatúra

Vlastné poznámky
Zbierka vzorcov z matematiky od kolektívu autorov RNDr. Marián Olejár, Mgr. Iveta Olejárová, Martin Olejár, Marián Olejár, Jr.