Výroky: Petra Podmanická

 


 
 
Negácia

 

  • je popretie výroku
  • negáciou výroku A je výrok A’, ktorý popiera to, čo tvrdí výrok A, čiže má opačnú pravdivostnú hodnotu
    • ak má výrok A pravdivostnú hodnotu pravda (1), výrok A’ má pravdivostnú hodnotu nepravda (0)
    • ak má výrok A pravdivostnú hodnotu nepravda (0), výrok A’ má pravdivostnú hodnotu pravda (1)
  • negácia výroku sa tvorí najmä pomocou spojenia - ne, nie je, nie je pravda, že
  • pre každý výrok A a jeho negáciu A’ platí P(A’) = P(A) – 1
            • A = boli sme tam najmenej piati
            • A’ = boli sme tam najviac piati

  • Tabuľka negácií: v stĺpcoch sa nachádza pôvodný výrok a jeho negácie. V jednotlivých riadkoch matematický zápis (symbolika) a to, čo to v normálnej reči znamená

Slovný zápis
Matematický zápis
Výrok V

Negácia V’

každý ... je...
... forall x in M : V(x)
aspoň jeden ... nie je ...
... forall x in M : V^{,}(x)
žiadny (nijaký) ... nie je...
... forall x in M : V^{,}(x)
aspoň jeden ... je ...
... exists x in M ; V(x)
aspoň k ľudí ... je ...
najviac (k – 1) ľudí ... je ...
aspoň k zvierat ... je ...
... forall x exists y : V(x,y)
najviac (k – 1) zvierat ... je ...
... forall x exists y : V^{,}(x,y)



Pravdivostná tabuľka
V rámci témy výroky I. sme si rozprávali niečo o zložených výrokoch a o tom akým spôsobom ich môžeme tvoriť. Patrili sem najmä konjunkcia, disjunkcia, implikácia a ekvivalencia. V tejto tabuľke vidíte, aký výsledok dostanete na základe toho, že poznáte pravdivostné hodnoty čiastkových výrokov.
  1. Štvrtý stĺpec predstavuje konjunkciu. Po teoretickej stránke pre ňu platí, že má hodnotu pravda (1), ak oba výroky majú hodnotu pravda (1.riadok) a hodnotu nepravda (0) ak aspoň jeden z výrokov má hodnotu nepravda (2., 3., 4. riadok)
  2. Piaty stĺpec je disjunkcia. Tá má hodnotu pravda (1), ak aspoň jeden z výrokov má hodnotu pravda (1., 2., 3. riadok) a hodnotu nepravda (0), ak oba výroky majú hodnotu nepravda (posledný riadok)
  3. Šiesty stĺpec je implikácia. Pre ňu platí, že má hodnotu pravda (1), ak aspoň jeden z výrokov B a negované A (tretí stĺpec) majú hodnotu pravda
  4. Posledný stĺpec je matematicky zapísaná ekvivalencia, pre ktorú platí, že má hodnotu pravda (1) ak oba výroky majú hodnotu pravda (1) alebo, ak oba výroky majú hodnotu nepravda (0) – prvý a posledný riadok. A má hodnotu nepravda (0), ak jeden z výrokov má hodnotu pravda a druhý nepravda – druhý a tretí riadok

 
Využitie výrokov
  • výroky sa v matematike používajú najmä v sekcii matematických dôkazov.
1. Priamy dôkaz je reťazec pravdivých implikáciíA_{1} Rightarrow A_{2} ; A_{2} Rightarrow A_{3} ... A_{n-1} Rightarrow A_{n}, ktorý zaručuje pravdivosť implikácie A_{1}Rightarrow A_{n}. V prípade, že A1 je axióma alebo už dokázaná veta, považujeme tento reťazec za priamy dôkaz výroku An
2. Nepriamy dôkaz výroku A Rightarrow B dokážeme tak, že dokážeme platnosť výrokuB^{,} Rightarrow A^{,}
3. Dôkaz sporom principiálne prebieha v nasledovných bodoch:
- Vyslovíme negáciu výroku X, teda X’
- Zostavíme reťazec implikácií X^{,} Rightarrow Y_{1}Rightarrow...Rightarrow Y, kde Y neplatí
- Uzavrieme, že X’ neplatí a tým pádom platí X

 


 
 
Praktická časť

 
Znegujte výrok: Číslo XXX je deliteľné piatimi alebo desiatimi.
 

 

  • Ide o zložený výrok:
    • A = číslo XXX je deliteľné piatimi
    • B = číslo XXX je deliteľné desiatimi
  • Musíme teda urobiť negáciu oboch výrokov
    • A’ = číslo XXX nie je deliteľné piatimi
    • B’ = číslo XXX nie je deliteľné desiatimi
  • Nemôžeme to však zapísať v takejto podobe, nakoľko druhú polovicu výroku máme zadanú inak, toto bola len ukážka toho, že výrok je zložený a treba ho negovať na dvakrát.
  • Znegujeme to tak, že A’ opíšeme, znegujeme spojku a opíšeme výrok B
  • Čiže dostávame: Číslo XXX nie je deliteľné piatimi, ani desiatimi.

 
Znegujte výrok: Každý človek je oblečený alebo učesaný
 

 

  1. Opäť ide o zložený výrok spojený spojkou alebo
  2. Budeme ho negovať nasledovne:
    1. Každý → Existuje
    2. Je → nie je
    3. Alebo → ani
  3. A keď to dáme dokopy, dostaneme: Existuje človek, ktorý nie je oblečený ,ani učesaný

 
 
Úlohy

 

  1. Znegujte výrok: Každý chlapec má rád dievčatá: Existuje chlapec, ktorý má nerád (nemá rád) dievčatá.
  2. Znegujte výrok: Existuje obdĺžnik, ktorý má najviac dve osi súmernosti: Každý obdĺžnik má aspoň tri osi súmernosti

 
Použitá literatúra:

 

prehľad matematiky
Zbierka vzorcov z matematiky od kolektívu autorov RNDr. Marián Olejár, Mgr. Iveta Olejárová, Martin Olejár, Marián Olejár, Jr.