Vypracovala: Petra Podmanická

 
 
De Morganove pravidlá

  • sú pravidlá vyjadrujúce vo výrokovej logike vzťah medzi konjunkciou, disjunkciou, ekvivalenciou a implikáciou.
  • ide o negáciu konjunkcie, disjunkcie… Platí pri nich:
    • konjunkcia sa negáciou mení na disjunkciu a naopak, t.j. disjunkcia sa negáciou mení na konjunkciu
    • pri konjunkcii a disjunkcii sa negujú oba (alebo viaceré) výroky súčasne
    • negáciou negovaného výroku vznikne východiskový (pôvodný) výrok: (A) negované = A’ a toto negované (A‘)‘ = A
    • implikácia sa negáciou mení na disjunkciu (neguje sa iba prvá časť pôvodného zloženého výroku a druhá ostáva nemenná), ktorú treba opätovne negovať
    • ekvivalencia sa negáciou mení na 2 navzájom konjugované implikácie, ktoré sa ďalej negujú
  • majme dva výroky A, B spojené do zložitého výroku. Uplatnením základných Morganových zákonov dostáveme:



Kvantifikátory

  • sú slovné väzby, ktoré obsahujú premenné (majú svoj D(f)) a udávajú počet alebo odhad počtu hodnôt premennej, pre ktoré niečo platí alebo neplatí. Ak kvantifikujeme, tak určujeme počet prvkov nesúcich určitú vlastnosť
  • ide o prvky každý, existuje aspoň jeden, práve jeden, najviac dva, žiaden...
  • delíme ich na:
    • kvantifikátor malý, tiež tzv. existenčný s označením \exists. Zaraďujeme sem spojenia existuje práve, aspoň, najviac, práve
    • kvantifikátor veľký, tiež tzv. všeobecný s označením \forall. Zaraďujeme sem spojenia každý, pre všetky, pre každý, žiaden, nikto, všetci

 
Príklad na tautológiu, jej dôkaz a výpočet

  • tautológia je zložený výrok, ktorý je vo všetkých svojich kombináciách pravdivosti a nepravdivosti vždy pravdivý
  • ZADANIE: (A V B^{,})^{,}\Leftrightarrow (A^{,} \Rightarrow B^{,})^{,}
  1. Čo to vlastne ideme robiť? Ideme dokázať, že vzájomnou kombináciou výrokov A a B, ktorú urobíme na základe zadania, dostaneme vždy pravdivé výroky
  2. Budeme robiť najskôr disjunkciu (výsledok nejaké X), potom implikáciu (výsledok nejaké Y). To dostaneme dva veľké čiastkové výroky a tieto dva potom podrobíme ekvivalencii (X \Leftrightarrow Y)
  3. Zapíšeme si pravdivosť a nepravdivosť výrokov (v kombináciach: 1-1, 1-0, 0-1, 0-0) a tieto znegujeme:
A
B
A’
B’
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1

  1. Urobíme disjunkciu medzi výrokom A a B’, tak ako nám káže zadanie (disjunkcia je pravdivá, ak je aspoň jeden z výrokov pravdivý.) A to čo sme dostali zase znegujeme:
disjunkcia
negácia
1
0
1
0
0
1
1
0

  1. Teraz ideme robiť druhý čiastkový výrok a tam sa nachádza implikácia, ktorú budeme negovať. Pri implikácií platí, že je pravdivá vtedy, ak je jeden z kombinácie ((A’)’B’) = AB’ pravdivý
implikácia
negácia
1
0
1
0
0
1
1
0

  1. Záverečný krok je ekvivalencia výsledkov získaných, pričom platí, že výrok je pravdivý vtedy, ak sú pravdivé obidva alebo nepravdivé obidva

Disjunkcia - negácia
Implikácia - negácia
ekvivalencia
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1



 

Použitá literatúra:

prehľad matematiky
Zbierka vzorcov z matematiky od kolektívu autorov RNDr. Marián Olejár, Mgr. Iveta Olejárová, Martin Olejár, Marián Olejár, Jr.