Nerovnice s parametrom sú také nerovnice, ktoré okrem premennej obsahujú ešte jednu neznámu, a to v podobe parametra (a, b, p...). Riešiť takúto nerovnicu znamená nájsť ku každej prípustnej hodnote parametra obor pravdivosti (množinu koreňov, intervaly).

Všeobecný postup vyzerá nasledovne:
  1. Osamostatnia sa neznáme
  2. Výraz s parametrom pri neznámej môže byť kladný, záporný alebo rovný nule. Toto sa rieši podľa zadania
  3. Určí sa interval riešenia pre konkrétne hodnoty parametra (ak je zadaný)


 

Riešené príklady

 

 

Majme nerovnicu a* (x-1) + 2 ≥ x

  1. Osamostatníme si neznámu:
a*(x-1) + 2 ≥ x
a*x – a + 2 ≥x
a*x – x + 2 ≥ a
x*(a – 1) ≥ a – 2

  1. Riešime pre prípady, ak je výraz s parametrom pri neznámej
    1. kladný: a – 1 > 0 a teda z tejto nerovnice → a > 1 → a – 1
potom platí:
x*(a – 1) ≥a – 2

 
    1. záporný a – 1 < 0 a teda z tejto nerovnice → a < 1 → – a + 1
potom platí:
x * (-a + 1) ≥ a – 2
 

    1. nulový a – 1 = 0 a teda z tejto nerovnice → a = 1
potom platí:
x*(1 – 1) ≥1 – 2
x * 0 ≥ -1 → a toto je pravda vždy, pretože akékoľvek číslo vynásobené nulou bude vždy väčšie ako záporné číslo

 
  1. Určíme si interval riešenia pre zadané hodnoty parametra, napríklad pre 4
    1. pri kladnej hodnote

 
 
    1. pri zápornej hodnote

 

    1. pri nulovej hodnote to bude stále množina reálnych čísel (v tomto príklade, nech by sme dosadili ľubovolné číslo)


 
Pre ktoré hodnoty parametra „a“ má rovnica 3 * (x + 1) = 4 + a * x koreň väčší ako -1
  1. vyjadríme si, čomu sa rovná x (osamostatníme ho)
3 * (x + 1) = 4 + a * x
3x + 3 = 4 + a * x
3x – a * x = 1
x * (3 – a) = 1


  1. x má byť viac ako -1, takže riešime

 
    1. 4 – a > 0 …..a ….3 – a > 0

 
    1. 4 – a > 0 …..a ….3 – a > 0

 
  1. Zjednotíme tieto dva intervaly:


 

 

Neriešené príklady

 

Určte, pre ktoré hodnoty parametra „a“ nadobúda uvedená rovnica kladné korene:

 
a in (-infty, 2) cup (frac{5}{2}, infty) 

 



Použitá literatúra:
Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr.Mariána Olejára a kol.