Vektory

Vypracovala: Petra Podmanická

Orientovaná úsečka – je úsečka, na ktorej sme presne zadefinovali jej začiatočný bod a konečný bod. Môže byť súhlasne alebo nesúhlasne orientovaná

Vektor – je množina súhlasne orientovaných úsečiek, ktoré majú rovnakú veľkosť. Každý vektor je určený smerom, veľkosťou a orientáciou. Vektor môžeme tiež definovať ako usporiadanú k-ticu alebo tzv. posunutie.

Označenie vektorov – tri základné spôsoby:

a, b, c.....x, y $\Rightarrow$ teda malými tučnými písmenami

AB, CD....XY $\Rightarrow$ tento zápis symbolizuje úsečku, ktorej začiatočný bod je A, C...X a koncové body sú B, D....Y

$\Rightarrow$ v tomto prípade šípka nad vektorom symbolizuje jeho smer

Súradnice vektora

sú súradnice jeho koncového bodu v takom umiestnení vektora, keď začiatočný bod je zhodný so začiatkom súradnicovej sústavy

označenie $\Rightarrow$

určenie súradníc vektora , ktorý je tvorený bodmi A, B

- na priamke:

- v rovine:

- v priestore:

Nulový vektor

množina všetkých nulových úsečiek
| | = 0
označenie $\Rightarrow$ , 0

Jednotkový vektor

je vektor, ktorého veľkosť je rovná jednej. Nesie iba informáciu o smere vektora.
| | = 1
označenie $\Rightarrow$ , resp. v prípade karteziánskej súradnicovej sústavy je to

Opačný vektor

opačný vektor k danému vektoru, vektor, ktorý má rovnakú veľkosť ako pôvodný vektor, ale opačný smer (viď. obrázok)

obrázok:

Veľkosť vektora AB

je vlastne dĺžka úsečky AB
označenie $\Rightarrow$ |AB|
výpočet $\Rightarrow$

Stred úsečky AB

súradnice stredu úsečky AB sú aritmetickým priemerom súradníc bodov A, B

Totožnosť vektorov – orientované vektory, ktoré majú ten istý smer a tú istú orientáciu reprezentujú ten istý vektor

Rovnosť vektorov – dva vektory sa rovnajú, ak sa rovnajú ich súradnice, t.j. ak máme vektory:

, , tak tieto vektory sa rovnajú, ak platí:

Uhol vektorov ,

je uhol AXB, kde XA je umiestnenie vektora a XB je umiestnenie vektora
tento uhol je vždy z intervalu <0, 180°>
pre tento uhol platí vzťah:

podobne môžeme odvodiť tento vzťah aj pre uhol v priestore:

Kolmosť a rovnobežnosť vektorov

dva vektory sú kolmé, ak platí:

dva vektory sú rovnobežné práve vtedy, ak podiely ich prvých, druhých aj tretích súradníc sú zhodné:

súhlasne rovnobežné $\Rightarrow$ k > 0
nesúhlasne rovnobežné $\Rightarrow$ k < 0

Pravidlá pri počítaní vektorov

a + b = b + a

a – b =(-b)+ a

(a + b)+ c = a +(b + c)

a + 0 = a

1*a = a

(-1)*a = -a

m*0 = 0

m*(n*a)= (m*n)*a

(m + n)*a = m*a + n*a

m*(a + b) = m*a + m*b

OPERÁCIE S VEKTORMI:

Sčítanie vektorov a (a₁, a₂), b (b₁, b₂)

- numericky:

- ak vektory vychádzajú z rovnakého bodu – dopĺňanie na rovnobežník

- ak vektor b začína tam, kde vektor a končí – dopĺňanie na trojuholník

- ak dva vektory nemajú spoločný bod

- postupujeme tak, že jeden z nich umiestnime na začiatok druhého vektora a doplníme na rovnobežník

- ak je vektorov viac

- majme vektory a, b, c, d. Budeme ich postupne umiestňovať tak, že počiatok ďalšieho vektora bude totožný s koncom predchádzajúceho (b bude začínať tam, kde a končí, c bude začínať tam, kde b končí a d bude začínať tam, kde c končí) Výsledný vektor x dostaneme spojením počiatku a vektora a konca d vektora:

Rozdiel vektorov a, b

je vlastne súčet vektora a a vektora opačného ku b, t.j. – b

a – b = a + (-b)

numericky:

obrázok:

Násobenie prirodzeným číslom

majme vektor a (a₁,a₂) a prirodzené číslo k. Prenásobenie vektora číslom k vyzerá asi takto:

k*a = (k*a₁, k*a₂)

Skalárny a vektorový súčin

skalárny súčin

súčin veľkostí dvoch vektorov a kosínusu uhla, ktorý navzájom zvierajú
a . b = |a| * |b| * cos φ
a . b = a₁*b₁ + a₂*b₂ ........... v rovine
ak sú dva vektory kolmé, ich skalárny súčin je rovný nule (cos 90° = 0)

vektorový súčin

sa dá vyjadriť a počítať iba v trojrozmernom priestore
na rozdiel od skalárneho súčinu, výsledkom vektorového súčinu je opäť vektor, ktorý je kolmý na oba pôvodné vektory
c = a x b = a⁰ .|a| . |b| . sin φ
c = (a₂b₃ – b₂a₃; a₃b₁ – b₃a₁; a₁b₂ – b₁a₂)

Použitá literatúra:

zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Olejár a kol.

Informácie

Kategórie