Vypracovala: Petra Podmanická
 
 
Prirodzené čísla sú celé kladné čísla (1, 2, 3....) alebo nezáporné celé čísla (0, 1, 2, 3....). Môžeme ich prirodzene násobiť, sčítať a odčítať s tým, že výsledok je opäť prirodzené číslo.


Predstavme si, že máme dve ľubovoľné prirodzené čísla p, q. Pre tieto dve čísla platí:
 
Číslo a je deliteľné číslom b vtedy, ak existuje číslo k, ktoré musí byť tiež prirodzené a musí spĺňať nasledujúcu podmienku:
a = b*k


Tento vzťah si slovne môžeme povedať tak, že každé číslo a je násobkom čísla b, alebo tiež číslo b je deliteľom čísla a.


 
U prirodzených čísel rozlišujeme, definujeme nasledovné typy čísel:

  1. prvočíslo: je číslo, ktoré je väčšie ako číslo 1 a je to číslo, ktoré je deliteľné iba jednotkou a sebou samým
  2. zložené číslo: je číslo, ktoré je väčšie ako číslo 1 a je to číslo, ktoré je deliteľné jednotkou, sebou samým a minimálne ešte jedným prirodzeným číslom (samozrejme okrem seba a čísla 1)
  3. a osobitným prípadom je číslo 1: je to prirodzené číslo, ktoré je deliteľné iba jedným číslom, a to samým sebou (nie je ani prvočíslo, ani zložené číslo)


Najväčší spoločný deliteľ
NSD dvoch alebo viac prirodzených čísel je najväčšie prirodzené číslo, ktorým je každé z týchto čísel deliteľné bezo zvyšku.


Určte NSD čísel 28, 36, 44

Pointou riešenia týchto príkladov je rozdelenie všetkých čísel na ich prvočísla, a hľadanie tých prvočísel, ktoré sú všetkým číslam spoločné. Konkrétne pri týchto príkladoch:

Číslo 28 predelíme najmenším možným prvočíslom, ktorým je deliteľné, t.j. 2:
28:2 = 14

Teraz číslo 14 predelíme najmenším možným prvočíslom, ktorým je deliteľné, t.j. opäť 2:
14:2 = 7

Číslo 7 je prvočíslo, čiže tu sme ten rozklad skončili.

Tento postup opakujeme aj pri ostatných dvoch číslach a dostaneme nasledovný rozklad:

28 = 2*2*7
36 = 2*2* 3*3
44 = 2*2* 11

Teraz vyberieme tie delitele, ktoré sú spoločné všetkým trom číslam a tieto prenásobíme. Čiže máme spoločné dve dvojky, a preto NSD týchto čísel bude 4 (2*2).



Najmenší spoločný násobok
NSN dvoch alebo viac prirodzených čísel je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je spoločným násobkom všetkých týchto čísel.


Určte NSD čísiel 28, 36, 44

Postup určenia NSN čísel je totožný ako určenie NSD, líši sa iba v jeho závere. Takže si opäť urobíme prvočíselný rozklad, a potom postupujeme tak, že prvočíselné delitele medzi sebou vynásobíme s tým, že tie delitele, ktoré sú spoločné pre všetky čísla, uvádzame v násobení iba raz. Konkrétne:

28 = 2*2*7
36 = 2*2* 3*3
44 = 2*2* 11

NSN = 2*2*7*3*3*11 = 2772 (vidíte, že dvojka je spoločná všetkým trom číslam, a preto ju uvádzame iba raz, potom je tu druhá dvojka, ktorá je spoločná obom číslam, preto ju uvádzame iba raz, a potom sú tu trojky, ktoré sú síce dve a sú deliteľom iba čísla 36, preto ich uvádzame obidve).


 
Deliteľnosť prirodzených čísel – príklad

Dokážte, že výraz P = p2 + 4p nie je deliteľný číslom 4

Dôkaz spočíva v tom, že budeme postupne zisťovať, či jednotlivé tvary výrazu sú deliteľné číslom 4. Postupne si za p budeme dosadzovať výrazy 4n, 4n + 1, 4n + 2, 4n + 3. Princípom je to, že v upravenom výraze (po dosadení) musíme pred zátvorku vyňať také číslo, ktoré je priamym násobkom čísla 4.
  1. Dosadíme za p výraz 4n:
(4n)2 + 4*4n = 16n2 + 16n = 16*(n2 + n)
Číslo 16 je deliteľné číslom 4, a preto môžeme spraviť čiastkový záver, že výraz p2+4p je deliteľný číslom 4

  1. Dosadíme za p výraz 4n + 1:
(4n + 1)2 + 4*(4n + 1) = 16n2 + 8n +1 +16n + 4 = 16n2 +24n + 5
A tu sme skončili, pretože nedokážeme vyňať prirodzené číslo, také, aby sme dostali výraz skladajúci sa len z prirodzených čísiel. Názorne, ak by sme odtiaľ chceli vyňať číslo 4, výraz by prešiel do nasledovného tvaru:
4*(4n2 + 6n + 1,25)

 
Týmto je dôkaz skončený.


 
 
Použitá literatúra:

Vlastné stredoškolské poznámky