Vlastnosti funkcií

Vypracovala: Petra Podmanická

Definičný obor, obor hodnôt, párne a nepárne funkcie

Definičný obor D(f) je množina všetkých x $\in$ M, ku ktorému môžeme priradiť práve jedno

y $\in$ R, také že [x,y] $\in$ f.

Obor hodnôt H(f) je množina všetkých y $\in$ R, ku ktorej existuje aspoň jedno x $\in$ D(f) také, že [x,y] $\in$ f

Funkcia sa nazýva párna, ak pre každé x $\in$ D(f) platí:

-x $\in$ D(f) a f(-x) = f(x) → v grafickom zobrazení súmerná podľa osi y

Funkcia sa nazýva nepárna, ak pre každé x $\in$ D(f) platí:

-x $\in$ D(f) a f(-x) = -f(x) → v grafickom zobrazení súmerná podľa počiatku

Ak neplatí hore uvedené, funkcia nie je ani párna ani nepárna.

Funkcie spojité a funkcie prosté

Nech je funkcia f definovaná v okolí bodu a. Hovoríme, že f je spojitá v bode a, ak ku ľubovoľne malému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pre všetky x z okolia bodu a s polomerom δ platí: f(x) sa nachádza v okolí bodu f(a) s polomerom ε. Ak vyjadríme okolia pomocou absolútnych hodnôt, dostaneme:

$\left| x - a \right| < \delta \Rightarrow \left| f(x) - f (a) \right| < \varepsilon$

Funkcia f je spojitá na otvorenom intervale (a, b) práve vtedy, keď je spojitá v každom bode tohto intervalu. Grafom spojitej funkcie je súvislá, neprerušovaná čiara.

Prostá funkcia: pre každé x₁, x₂ $\in$ D(f) platí, že ak x₁ ≠ x₂, tak f(x₁) ≠ f(x₂). Laicky povedané, funkcia je prostá práve vtedy, ak pre rôzne x existujú rôzne y. Teda funkcia nie je prostá vtedy, ak pre jednu hodnotu y existujú aspoň 2 hodnoty x.

Funkcie rovnajúce sa

Hovoríme, že funkcia f sa rovná funkcii g, ak

D(f) = D(g)
Pre každé x $\in$ D(f) platí f(x) = f(g)

Čiže ak do predpisu funkcie f dosadíme hodnoty x z D(f) a jej hodnota v týchto bodoch sa bude rovnať hodnote funkcie g v týchto istých bodoch a súčasne definičný obor funkcie f je zhodný s definičným oborom funkcie g, tak platí, že funkcia f sa rovná funkcii g.

Ak sú grafické zobrazenia dvoch funkcií reprezentované rovnakou čiarou, tak sa rovnajú.

Monotónnosť

Nech f je funkcia a M podmnožina jej definičného oboru D(f). Budeme hovoriť, že funkcia f je rastúca funkcia na množine M, ak pre každé dva prvky x₁, x₂ $\in$ M, platí: ak x₁ < x₂, tak f(x₁) < f(x₂). Funkcia je rastúca, ak pre dvojicu bodov x₁ a x₂, ku ktorým patria body y₁ a y₂, platí, že ak x₁< x₂, tak aj y₁ < y_2.

Nech f je funkcia a M podmnožina jej definičného oboru D(f). Budeme hovoriť, že funkcia f je klesajúca funkcia na množine M, ak pre každé dva prvky x₁, x₂ $\in$ M, platí: ak x₁ < x₂, tak f(x₁) > f(x₂). Funkcia je klesajúca vtedy, ak platí, že ak x₁< x₂, tak aj y₁ > y_2.

Nech f je funkcia a M podmnožina jej definičného oboru D(f). Budeme hovoriť, že funkcia f je nerastúca funkcia na množine M, ak pre každé dva prvky x₁, x₂ $\in$ M, platí: ak x₁ < x₂, tak f(x₁) ≥ f(x₂).

Nech f je funkcia a M podmnožina jej definičného oboru D(f). Budeme hovoriť, že funkcia f je neklesajúca funkcia na množine M, ak pre každé dva prvky x₁, x₂ $\in$ M, platí: ak x₁ < x₂, tak f(x₁) ≤ f(x₂)

Každá rastúca alebo klesajúca funkcia je prostá funkcia. Avšak neplatí opačná veta, čiže neplatí, že každá prostá funkcia je rastúca alebo klesajúca. Všetky spomínané 4 typy funkcií sa súhrnne nazývajú monotónne, funkcie rastúce a klesajúce voláme rýdzo monotónne.

Ohraničenosť

Funkcia f sa nazýva zdola ohraničená na množine M, ak existuje také číslo c, že pre všetky x $\in$ M platí f(x) ≥ c

Funkcia f sa nazýva zhora ohraničená na množine M, ak existuje také číslo p, že pre všetky x $\in$ M platí f(x) ≤ p

Funkcia f sa nazýva ohraničená na množine M, ak je ohraničená zdola na množine M a súčasne je ohraničená zhora na množine M, teda vtedy, ak existujú také čísla c a p, že pre všetky x $\in$ M platí c ≤ f(x) ≤ p

Funkcia nemusí byť ohraničená, ohraničená zhora ani ohraničená zdola (napr. lineárne funkcie typu: y = ax +b).

Extrémy funkcie

Funkcia f má v bode a na množine M lokálne maximum, ak pre všetky x $\in$ M platí f(x) ≤ f(a)

Funkcia f má v bode a na množine M lokálne minimum, ak pre všetky x M platí f(x) ≥ f(a)

Funkcia f má v bode a na množine M ostré maximum, ak pre všetky x $\in$ M, x ≠ a, platí, že f(x) < f(a)

Funkcia f má v bode a na množine M ostré minimum, ak pre všetky x $\in$ M,x ≠ a, platí, že f(x) > f(a)

Funkcia f má na intervale X globálne maximum v bode a, ak pre všetky x $\in$ I, platí f(x) ≤ f(a)

Funkcia f má na intervale X globálne minimum v bode a, ak pre všetky x $\in$ I, platí f(x) ≥ f(a)

Periodicita

Funkcia f sa nazýva periodická funkcia práve vtedy, keď existuje také číslo p > 0, že pre každé k $\in$ Z platí:

Ak x $\in$ D(f), tak (x + kp) $\in$ D(f) aj (x – kp) $\in$ D(f)
f(x + kp) = f(x)

Číslo p sa potom nazýva perióda funkcie. Číslo k je násobok periódy p

Inverzná funkcia (f^-1)

Je definovaná na základe vzťahu:

platí pre všetky x, y

Iba ak je funkcia prostá, tak ku nej existuje inverzná funkcia, ktorá je sama o sebe prostá.

f a f^-1 sú inverznými funkciami navzájom, preto platí (f^-1)^-1 = f

f a f^-1majú totožnú monotónnosť. To znamená, že ak f je rastúca na intervale I, tak aj k nej inverzná funkcia f^-1 je na tomto intervale rastúca.

Grafy f a f^-1sú súmerne združené podľa osi y = x, čo je os 1. a 3. kvadrantu

K funkcii f vytvoríme inverznú funkciu f^-1 jednoducho tak, že v zadaní funkcie y = f(x) vymeníme medzi sebou x a y a z takto upravenej funkcie vyjadríme y.

Pre dve navzájom inverzné funkcie platí:

D(f) = H(f^-1)

H(f) = D(f^-1)

Graf navzájom inverzných funkcií:

Použitá literatúra:

Vlastné stredoškolské poznámky

Informácie

Kategórie