Vypracovala: Petra Podmanická


 
 
Teoretická časť

 

DVE PRIAMKY


Dve priamky ležiace v jednej rovine môžu byť:
  1. rôznobežné – je taká dvojica priamok, ktoré ležia v jednej rovine a majú aspoň jeden spoločný bod
  2. rovnobežné – sú vtedy, keď priamky ležia v jednej rovine a nemajú spoločný ani jeden bod
  3. totožné – práve vtedy, keď priamky splynú v jednu

V prípade, že dve priamky neležia v jednej rovine, hovoríme o priamkach, ktoré sú mimobežné


VETA 1: Pre každé dve rôzne rovnobežné priamky v priestore existuje práve jedna rovina, ktorá ich obsahuje


 
DVE ROVINY


Na určenie vzájomnej polohy dvoch rovín nám stačí poznať ich prienik. Týmto prienikom je v tomto prípade priamka, ktorá sa nazýva priesečnica rovín. Za takýchto podmienok môžeme povedať, že dve roviny sú:
  1. rovnobežné sú vtedy, keď roviny nemajú priamku ako prienik, resp. majú prázdny prienik
  2. rôznobežné sú dve rôzne roviny, ktoré majú priamku ako prienik
  3. totožné práve vtedy, keď roviny splynú v jednu

 
PRIAMKA A ROVINA


Tak ako v prípade dvoch rovín aj vzájomná poloha priamky a roviny je určená ich spoločným prienikom. Tentokrát to však nie je priamka, ale jeden jediný bod, ktorý nazývame priesečník. Ďalšia možnosť je taká, že roviny nemajú spoločný žiadny bod alebo majú spoločné najmenej dva body. Na základe takýchto úvah môžeme povedať, že priamka a rovina sú:
  1. rovnobežné – to nastane vtedy, ak rovina a priamka nemajú spoločný ani jeden bod
  2. rôznobežné – to nastane vtedy, ak priamka a rovina majú spoločný práve jeden bod
  3. priamka leží v rovine – to nastane vtedy, ak má priamka s rovinou spoločné aspoň dva body

VETA 2: Ak majú dve rovnobežné priamky spoločný bod, tak splynú, t.j. sú totožné
 
VETA 3: Ak majú dve rovnobežné roviny spoločný bod (priamku) tak splynú, t.j. sú totožné
 
VETA 4: Ak má rovnobežná priamka s rovinou spoločný bod, tak v nej leží


 
Praktická časť

Je daná priamka v priestore, pre ktorú platí:
x = 4 + k
y = 7 – 8k
z = -11 + 3t

Ďalej je daná rovina určená bodmi A, B, C, pre ktoré platí:
A [2, 2, 1]
B [0, 1, -1]
C [1, 3, 4]

Určte ich vzájomnú polohu a ak je to možné, tak súradnice priesečníka.


Prvú vec, ktorú musíme urobiť je určiť si smerový vektor priamky a normálový vektor roviny. Čo sa priamky týka, tak toto určenie je veľmi jednoduché. Smerový vektor priamky je tvorený tými číslami, ktoré sa nachádzajú pri parametri k, t.j.
 
 
Čo sa roviny týka, je to trochu komplikovanejšie, ale nie je to nič zložité. Z bodov A, B, C si vytvoríme dva vektory a z nich potom urobíme vektorový súčin. Takže majme teda vektory:
AB = B – A = [(0 – 2); (1 – 2); (-1 – 1)] = [-2; -1; -2]
AC = C – A = [(1 - 2); (3 – 2); (4 – 1)] = [-1; 1; 3]

Teraz urobíme z týchto dvoch vektorov vektorový súčin:
AB x AC = [(-1*3 - -2*1); (-2*-1 - -2*3); (-2*1 - -1*-1)] = [-1; 8; -3]

Vidíme, že smerový vektor priamky je násobkom normálového vektora roviny (alebo naopak)
v = -1*AB

Na základe uvedeného môžeme spraviť záver, že priamka je s rovinou rôznobežná a teda sa pretínajú v jednom spoločnom bode.

 
Teraz ideme hľadať súradnice priesečníka. Najskôr si napíšeme všeobecnú rovnicu roviny a dosadíme do nej jeden z bodov A, B, C a vypočítame hodnotu neznámej p.:
-x + 8y – 3z + d = 0
 
Za x, y, z si dosadíme hodnoty napríklad bodu C:
-1 + 8*3 – 3*4 = -d
-1 + 24 – 12 = -d
11 = - d
d = -11

A teda všeobecná rovnica roviny je: -x + 8y – 3z – 11 = 0

Do tejto rovnice si teraz za x, y, z dosadíme rovnice z vyjadrenia priamky (zadanie) a vypočítame, čomu sa rovná k:
-(4 + k) + 8*(7 – 8k) – 3*(-11 + 3k) – 11 = 0
-4 – k + 56 – 64k + 33 – 9k -11 = 0
- 74 k + 74 = 0
k = 1

Toto, čo sme vypočítali dosadíme spätne do vyjadrenia priamky a dostaneme súradnice priesečníka:
Q:
x = 4 + k = 4 + 1 = 5
y = 7 – 8k = 7 – 8 = -1
z = -11 + 3k = -11 + 3 = - 8

 
 
Úlohy

  1. V akej vzájomnej polohe môže byť rovina a priamka?
  2. V akej vzájomnej polohe môžu byť dve roviny?
  3. V akej vzájomnej polohe môžu byť dve priamky v priestore?

 
Použitá literatúra:

Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.
Vlastné poznámky