Vypracovala: Petra Podmanická

 
 
 
Exponenciálna funkcia je každá funkcia, ktorá je určená predpisom:

y = a x


Je to predpis, ktorý každému reálnemu číslu x priraďuje práve jedno číslo y. Symbol a je tzv. základ, a preto keď hovoríme o exponenciálnych funkciách, hovoríme, že máme exponenciálnu funkciu so základom a. Pre tento základ, platí, že musí byť kladný, t.j. väčší ako nula a nesmie sa rovnať jednej.



Základné vlastnosti exponenciálnych funkcií:

  1. Grafom je exponenciálna krivka:


  1. definičný obor je množina všetkých reálnych čísiel, ale obor hodnôt je len množina všetkých kladných reálnych čísiel (včetne nuly)

  1. Všimnite si, že krivka exponenciálnej funkcie prechádza bodom [0, 1]. Toto nie je len v tomto prípade, ale je to tak vždy. Druhý bod, ktorým krivka prechádza je bod so súradnicami [1, a], pričom a je základ. Asymptotou exponenciálnej funkcie je os x

  1. Pre každé reálne číslo x definované pri kladnom základe a platí:

a x > 0


  1. Hodnota funkcie v bode 0 sa rovná 1 (viď. graf):

y = a 0 = 1


  1. Monotónnosť exponenciálnej funkcie:
    1. Ak je základ exponenciálnej funkcie väčší ako jedna, t.j. a > 1, potom je táto funkcia na celom svojom definičnom obore rastúca:



 
    1. Ak je základ exponenciálnej funkcie menší ako jedna a dodržuje pravidlo o jeho kladnosti, t.j. 1 > a > 0, potom je táto funkcia klesajúca:


 
  1. Z uvedených dvoch grafov môžete vidieť, že funkcia je ohraničená iba zdola, nie je ohraničená zhora

  1. Takisto môžeme vidieť, že funkcia nedosahuje žiadne konkrétne minimum a s určitosťou môžeme povedať, že nemá ani maximum

  1. Je to funkcia, ktorá je za každých okolností prostá a spojitá na svojom definičnom obore (je teda spojitá na množine reálnych čísiel). Exponenciálna funkcia nie je ani párna ani nepárna a určite nie je periodická

  1. Existuje k nej inverzná funkcia a pre ňu platí:

f -1: y = loga x


 
  1. Pre každé x, y ∈ R platí nasledovné:
    1. Ak a > 0; a ≠ 1; x = y; potom:

a x = a y


    1. Ak a > 1;  x < y; potom:

a x < a y


    1. Ak a > 0; a < 1; x < y; potom:

a x > a y

  

Použitá literatúra:

Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.
Vlastné poznámky