Vypracovala: Petra Podmanická



Teoretická časť

Kružnica môže byť s priamkou v troch vzájomných polohách, a to ako:
  1. Dotyčnica
     
  1. Sečnica
     
  1. Nesečnica

 


To v akej polohe sú pri riešení príkladov zistíme tak, že si vyriešime sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Majme teda vo všeobecnosti kružnicu k a priamku p, ktoré sú vyjadrené nasledovne:

 
k: x2 + y2 = r2
p: y = k*x +q


Rovnicu priamky dosadíme do rovnice kružnice za neznámu „y“. (V prípade, že máme rovnicu priamky zadanú inak, pretransformujeme si ju do smernicového tvaru). Postup vyzerá nasledovne:
 
x2 + y2 = r2 ..... dosadíme za y z priamky p a upravujeme do tvaru, aby sme dostali kvadratickú rovnicu

 
x2 + (k*x + q)2 = r2

x2 + k2x2 + 2*k*x*q + q2 – r2 = 0
x2*(1 + k2) + x*(2*k*q) + (q2 – r2) = 0

        A                B            C


Ďalší postup je taký, že si určíme diskriminant takejto kvadratickej nerovnice. Ten má všeobecný vzorec: D = B2 – 4*A*C

Keď si teda za jednotlivé koeficienty A, B, C dosadíme hodnoty z našej rovnice, dostaneme:
D = (2*k*q)2 – 4*(1 +k2)*(q2 – r2)

A po úpravách dostávame:
D =4*[r2(1 + k2) – q2]

A teraz podľa tohto diskriminantu môžeme určiť v akej polohe sú kružnica a priamka. A teda, ak:
  1. D > 0 ide o sečnicu, rovnica má dve riešenia, z ktorých dostaneme súradnice dvoch bodov, v ktorých sa priamka s kružnicou pretína
  2. D < 0 ide o nesečnicu.
  3. D = 0 ide sa o dotyčnicu. Ďalším riešením dostaneme jednu hodnotu neznámej, pomocou ktorej potom dostaneme súradnice dotykového bodu


Praktická časť

Určte vzájomnú polohu priamky a kružnice, ktoré sú vyjadrené nasledovne:
k: x2 + y2 = 25
p:
x = 5 + 3t
y = 4t

V prvom rade si rovnicu priamky upravíme na všeobecný tvar a tento potom upravujeme na smernicový tvar. Všeobecný tvar dostaneme tak, že si z jednej rovnice vyjadríme „t“ a dosadíme do druhej rovnice:

t = y/4 ...................toto dosadíme do prvej rovnice
x = 5 + 3*y/4
4x = 20 + 3y ..... a z toho dostávame ... .\rightarrow 3y – 4x + 20 = 0

Teraz si z tejto rovnice spravíme rovnicu smernicovú a to veľmi jednoducho tak, že si zo všeobecnej rovnice vyjadríme „y“:

3y = 4x – 20
y = 4x/3 - 20/3

Z rovnice kružnice a rovnice priamky si vypíšeme čomu sa rovnajú hodnoty jednotlivých parametrov, t.j.:
r = 5
k = 4/3
q = -20/3

A toto teraz dosadíme do rovnice diskriminantu:
D = 4*[r2(1 + k2) – q2]= 4*[52(1 + (4/3)2) – (-20/3)2] = 4*[25*(1+16/9) – 400/9]
D = 100
- diskriminant je kladný a preto ide o sečnicu.

Teraz si určíme dotykové body a to tak, že zo sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych si vypočítame hodnoty x1 a x2:


x1 = 5
x2 = 7/5

Tieto vypočítané hodnoty si dosadíme do rovnice priamky a vypočítame si hodnoty „y“
  1. Priamka
    1. y1 = 4*5/3 – 20/3 = 20/3 – 20/3 = 0
    2. y2 = 4/3 * 7/5 – 20/3 = 28/15 – 20/3 = -24/5
  2. Kružnica = ako kontrola správnosti
    1. y_{1} = \sqrt[]{(25 - X_{1}^{2})} = \sqrt[]{(25 - 25)} = \pm 0
    2. y_{2} = \sqrt[]{(25 - X_{1}^{2})} = \sqrt[]{(25 - 49/25)} = \pm 24/5


 
Úlohy

  1. V akom vzájomnom vzťahu môže byť kružnica a priamka?
  2. Ako vypočítame v akom vzťahu sú priamka a kružnica?
  3. Ako určíme súradnice priesečníka a dotykového bodu?


Použitá literatúra:

Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.