Vypracovala: Petra Podmanická


 
Teoretická časť

Elipsa môže byť s priamkou v troch vzájomných polohách, a to ako:

  1. Dotyčnica

 
  1. Sečnica

 
  1. Nesečnica

 
 
To, v akej polohe sú pri riešení príkladov zistíme tak, že si vyriešime sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Majme teda vo všeobecnosti elipsu E a priamku p, ktoré sú vyjadrené nasledovne:

E: b2x2 + a2y2 = a2b2
p: y = k*x +q


Rovnicu priamky dosadíme do rovnice elipsy za neznámu „y“. (V prípade, že máme rovnicu priamky zadanú inak, pretransformujeme ju do smernicového tvaru). Postup vyzerá nasledovne:

b2x2 + a2y2 = a2b2..... dosadíme za y z priamky p a upravujeme do tvaru, aby sme dostali kvadratickú rovnicu:

b2x2 + a2(k*x + q)2 = a2b2

b2x2 + a2k2x2 + 2*a2*k*x*q + a2q2 – a2b2 = 0
x2*(b2 + a2k2) + x*(2*a2*k*q) + a2(q2 – b2) = 0

          A                    B                   C


Ďalší postup je taký, že si určíme diskriminant takejto kvadratickej nerovnice. Ten má všeobecný vzorec: D = B2 – 4*A*C

Keď si teda za jednotlivé koeficienty A, B, C dosadíme hodnoty z našej rovnice, dostaneme:
D = (2*a2*k*q)2 - 4*(b2 + a2k2)*a2(q2 – b2)

A po úpravách dostávame:
D = 4a2b2(a2k2 + b2 – q2)


A teraz podľa tohto diskriminantu môžeme určiť v akej polohe sú elipsa a priamka. A teda, ak
  1. D > 0 ide o sečnicu, rovnica má dve riešenia, z ktorých dostaneme súradnice dvoch bodov, v ktorých sa priamka s elipsou pretína
  2. D < 0 ide o nesečnicu.
  3. D = 0 ide o dotyčnicu. Ďalším riešením dostaneme jednu hodnotu neznámej, pomocou ktorej potom dostaneme súradnice dotykového bodu


Praktická časť

Určte vzájomnú polohu elipsy a priamky, ktoré sú vyjadrené nasledovne:
E: x2 + 3y2 – 3 = 0
p: x + y – 10 = 0


V prvom rade si priamku z jej všeobecnej rovnice prerobíme na rovnicu v smernicovom tvare a rovnicu elipsy si upravíme tak, aby sme z nej mohli prečítať koeficienty. Takže najskôr priamka: Aby sme dostali rovnicu zo všeobecného tvaru do smernicového stačí, ak si vyjadríme „y“: y = -x + 10


Teraz si upravíme elipsu: x2 + 3y2 = 3. Koeficienty, ktoré máme sú nasledovné:

a = \sqrt[]{3}
b = 1


(a2*b2 = 1*3 = 3 \rightarrow pravá strana rovnice sa zhoduje vzhľadom na všeobecnú rovnicu elipsy, uvedenú v teórii)

k = -1
q = 10


Toto teraz dosadíme do rovnice, aby sme zistili hodnotu diskriminatu:
 
D = 4 a^{2} * b^{2}*(a^{2}k^{2} + b^{2} - q^{2}) = 4 * \sqrt[]{3^{2}} * 1^{2} * \left[ \sqrt[]{3^{2}} * (-1)^{2} + 1^{2} - 10^{2} \right] = - 1152


Keďže diskriminant je záporný, ide o nesečnicu a teda priamka nemá s kružnicou spoločný žiadny bod.


Ak by sme mali diskriminat väčší ako nula, tak by sme si prvé súradnice dvoch priesečníkov vypočítali z rovnice:
 
 
Výsledok dosadíme do rovnice priamky a dopočítame druhé dve súradnice


Ak by sme mali diskriminat rovný nule, tak počítame podľa vzorca:




Úlohy

  1. V akých polohách môže byť priamka a elipsa?
  2. Ako sa určuje vzájomná poloha priamky a elipsy?
  3. Ako určíte súradnice priesečníka priamky a elipsy?

 
Použitá literatúra:

Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.