Vypracovala: Petra Podmanická
Priamka je jednorozmerný základný geometrický útvar. Je nekonečne tenká, nekonečne dlhá a dokonale rovná krivka.
Priamku môžeme vyjadriť viacerými spôsobmi, a to buď parametricky, všeobecne alebo smernicovo. Tieto vyjadrenia majú nasledovný tvar:
- Parametrické vyjadrenie priamky
Máme dva body A [a1; a2] a B [b1; b2], smerový vektor priamky AB = u [u1; u2] a bod X [x; y], ktorý predstavuje os. Rovnicu priamky môžeme vyjadriť dvomi spôsobmi:
Ak je daná bodom(A) a smerovým vektorom (u), vtedy je tvar priamky daný ako:
X = A + t*u
kde u = B – A
Ak je priamka daná dvoma bodmi (A a B), vtedy je tvar priamky daný ako:
X = A + t*(B – A)
- Všeobecné vyjadrenie priamky
Máme dva body A [a1; a2] a B [b1; b2], smerový vektor priamky AB = u [u1; u2]. Všeobecný tvar rovnice priamky, prechádzajúcej bodmi A; B vyzerá nasledovne:
a*x + b*y + c = 0
- Smernicové vyjadrenie priamky
Máme dva body A [a1; a2] a B [b1; b2] a smernicu priamky, ktorú vypočítame podľa vzorca:
k = - a/b
Priamka, ktorá prechádza bodom A, vyjadrená v smernicovom tvare vyzerá nasledovne:
y – a2 = k*(x – a1)
Na základe toho, v akom vzťahu sú smernice priamok, môžeme určiť, či sú priamky rovnobežné, kolmé alebo rôznobežné:
- Rovnobežné – tento prípad nastáva vtedy, ak nám pri riešení príkladu vyjde, že k1 = L*k2 (jedna je násobkom tej druhej)
- Kolmé – tento prípad nastáva vtedy, ak nám pri riešení príkladu vyjde, že k1*k2 = -1
- Rôznobežné – ak neplatí ani jedno
Existuje aj iný spôsob toho, ako pomenovať vzájomnú polohu dvoch priamok, a to:
- Rôznobežné – je taká dvojica priamok, ktoré ležia v jednej rovine a majú aspoň jeden spoločný bod
- Rovnobežné – sú vtedy, keď priamky ležia v jednej rovine a nemajú spoločný ani jeden bod
- Totožné – práve vtedy, keď priamky splynú v jednu
- Mimobežné – sú vtedy, keď dve priamky neležia v jednej rovine
Okrem klasických príkladov o vyjadrení priamky sa môžeme stretnúť ešte s príkladmi, kedy máme určiť uhol dvoch priamok alebo príkladoch, kedy máme určiť vzdialenosť určitého bodu od priamky. Vtedy sa držíme nasledovných vzťahov:
- Vzdialenosť bodu od priamky
Máme v súradnicovej osi zadaný bod B[x1, y1] a priamku p = ax + by + c = 0
Vzdialenosť bodu B od priamky p, vypočítame podľa vzťahu:
- Uhol dvoch priamok
- Ak sú priamky vyjadrené vo všeobecnom tvare
Máme zadané priamky p = a1*x + b1*y + c = 0 a q = a2*x + b2*y + c2 = 0. Uhol, ktorý tieto priamky zvierajú, môžeme vypočítať podľa vzorca:
- Ak sú priamky vyjadrené v smernicovom tvare
Máme zadané priamky
p: y = k1*x + r1
q: y = k2*x + r2
Uhol dvoch priamok vyjadrených v takomto tvare (za predpokladu, že súčin smerníc je iný ako -1), môžeme vypočítať podľa vzorca:
- Priamka a rovina
Tak ako v prípade dvoch rovín, aj vzájomná poloha priamky a roviny je určená ich spoločným prienikom. Tentokrát to však nie je priamka, ale jeden jediný bod, ktorý nazývame priesečník.Ďalšia možnosť je taká, že roviny nemajú spoločný žiadny bod alebo majú spoločné najmenej dva body. Na základe takýchto úvah môžeme povedať, že priamka a rovina sú:
- rovnobežné – to nastane vtedy, ak rovina a priamka nemajú spoločný ani jeden bod
- rôznobežné – to nastane vtedy, ak priamka a rovina majú spoločný práve jeden bod
- priamka leží v rovine – to nastane vtedy, ak má priamka s rovinou spoločné aspoň dva body
VETA 1: Ak majú dve rovnobežné priamky spoločný bod, tak splynú, t.j. sú totožné
VETA 2: Ak majú dve rovnobežné roviny spoločný bod (priamku) tak splynú, t.j. sú totožné
VETA 3: Ak má rovnobežná priamka s rovinou spoločný bod, tak v nej leží
Použitá literatúra:
zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.