Vypracovala: Ing. Renáta Dvončová



Najskôr si definujme prirodzené číslá - sú to čísla 1,2,3,4,5,.. Množinu všetkých prirodzených čísel označujeme N. Teda N = {1,2,3,4,5,…}.

Prvočíslo je to vlastne prirodzené číslo n >1 práve vtedy, ak nemá žiadne netriviálne delitele.

Teda prirodzené číslo n >1 je prvočíslo práve vtedy, keď je deliteľné číslami 1, -1, n, -n.

Prirodzené číslo n >1, ktoré nie je prvočíslom, sa nazýva zložené číslo.

Najmenšími prvočíslami sú čísla 2, 3, 5, 7, 11, 13,… atď, najmenšie zložené číslo je číslo 4.

Veta:

Nech p je prvočíslo a nech m,n € Z (množina celých čísel). Potom platí:

Ak prvočíslo p delí súčin dvoch čísel, potom delí aspoň jedného z činiteľov. Môžeme to zapísať:

p/m.n potom p/m

alebo p/n


Počet prvočísel:

Už Euklides dokázal, že prvočísel je nekonečne mnoho. Avšak do dnešných čias nejestvuje spôsob, pomocou ktorého by bolo možné určiť všetky prvočísla.

Na vyznačenie všetkých prvočísel menších jako dané prirodzené číslo môžeme použiť metódu nazývanú ERATOSTENOVO SITO. Táto metóda sa zakladá na skutočnosti, že pre najmenšie prirodzené číslo p, ktoré je netriviálnym deliteľom zloženého čísla n, platí:


1< p ≤ √n


Je zrejmé, že toto číslo p je prvočíslo. Při hľadaní prvočísel menších jako číslo n pomocou spomínaného sita postupujeme takto:

Vypíšeme za sebou prirodzené čísla 1,2,….,n. Vyškrtneme číslo 1, nakoľko nie je prvočíslo. Číslo 2 je prvočíslo, preto ho necháme nevyškrtnuté. Ďalej škrtáme všetky čísla od 3 po n, ktoré sú deliteľné 2. Zostane nám číslo 3, preto je prvočíslo. Teraz škrtáme spomedzi čísel 4, ….n všetky čísla deliteľné 3. Najmenšie spomedzi čísel, ktoré zostalo nevyškrtnuté a je väčšie jako 3, je prvočíslo. Necháme ho a vyškrtáme všetky jeho násobky. Robíme tak dovtedy, pokým je najmenšie nevyškrtnuté číslo väčšie jako √n. Zostaté čísla sú prvočísla.

Třeba poznamenať, že táto metóda je neefektívna pre veľké n.

Rozklad na prvočinitele

Ak n > 1 je prirodzené číslo, tak potom ho môžeme vyjadriť jako súčin prvočísel, a to jednoznačne až na poradie činiteľov.

Ak v rozklade n = p1 . p2 ….. pk zlúčime rovnaké prvočísla, dostávame kanonický rozklad čísla n

n = q1a1. q2a2…….= qsas

kde q1 ,q2… sú rôzne prvočísla a a1, a2.. sú prirodzené čísla


Príklad:

Rozložte číslo 600 na prvočísla:

600 = 6.100= 2.3.4.25 = 2.3.2.2.5.5 = 23 . 3 . 52


Najväčší spoločný deliteľ

Nech máme čísla m,n, z ktorých aspoň jedno je rôzne od nuly. Potom číslo k nazývame ich spoločný deliteľ práve vtedy, ak: k/n a k/m.

Najväčší spomedzi spoločných deliteľov sa nazýva najväčší spoločný deliteľ čísel m a n. Označujeme ho D(m,n)

Tieto čísla sú nesúdeliteľné vtedy, ak (m,n) = 1

Napríklad spoločné delitele čísel 16 a 24 sú čísla 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8, teda (16,24) = 8

Definícia:

Nech m,n sú prirodzené čísla. Potom sa prvočíslo p nachádza v kanonickom rozklade čísel (m,n) práve vtedy, keď sa nachádza v rozklade čísla n a zároveň i v m. Navyše mocnina prvočísla p v rozkade našich čísel sa rovná menšej z mocnín prvočísla p v rozkladoch čísel m a n. Túto definíciu uplatňujeme pri hľadaní nejväčšieho spoločného deliteľa D.

Príklad:

Určte nejväčšieho spoločného deliteľa D čísel 86 a 129.

Riešenie:

Dané čísla si rozložime na prvočísla:

86 = 2.43

129 = 3.43

Spoločným deliteľom oboch čísel je číslo 43 a zapisujeme to nasledovne:

D(86,129) = 43



Najmenší spoločný násobok

Nech máme opäť dve prirodzené čísla n,m.Potom budeme prirodzené číslo k nazývaťspoločným násobkom práve vtedy, ak m/k a zároveň n/k.

Najmenší spomedzi spoločných násobkov sa nazáva najmenší spoločný násobok a označujeme ho n(n,m)

Definícia:

Nech n,m sú prirodzené čísla, potom sa prvočíslo p nachádza v kanonickom rozklade čísla [n,m] práve vtedy, ak sa nachádza v rozklade aspoň jedného z nich . Navyše, mocnina prvočísla p v rozklade sa rovná väčšej z mocnín.

Príklad:

Nájdite NSN čísel: 198, 330

Riešenie:

Robíme rozklad 198 = 2 . 32. 11

                         330 = 2.3.5.11

Z toho vyplýva: n(198,330) = 2. 32. 5.11 = 990


Použitá literatúra: Prehľad stredoškolskej matematiky