Vypracovala: Ing. Renáta Dvončová
Riešenie:
Zakreslíme si rovnostranný trojuholní ABC. Vieme, že v rovnostrannom trjuholníku platia tieto vety:
a) všetky tri strany trojuholníka majú rovnakú veľkosť a=b=c=a
b) všetky tri uhly v trojuholníku sú rovnako veľké, £ = ß = γ = 60o
c) výšky trojuholníka sa tiež rovnajú a sú totožné s ťažnicami a spájajú vrcholy trojuholníka
so stredmi protiľahlých strán, pričom sú na strany kolmé
Ako prvé si musíme vyrátať obsah tohoto rovnostranného trojuholníka. Na výpočet použijeme vzorec číslo 1.
a . va Stranu a si vyjdríme pomocou goniometrickej
S = ---------- funkcie cez výšku, lebo vieme, že uhol ß = 60o
2 a výška má veľkosť 6 cm
Z obrázku vidíme, že použijeme gon. funkciu sin. ( je to pomer protiľahlej odvesny k prepone)
vzorec č.2 vzorec č.3
va va
sin ß = ------ z toho vyplýva a = ------------
a sin ß
6 6
dosadíme: a= -------------- a = ------------ a = 6,9 cm
sin 60o 0,866
túto hodnotu dosadím do vzorca č.1
6,9 . 6
S1 = ------------
2
S1 = 20,8 cm2
Našou úlohou je vypočítať obvod trojuholníka, ak jeho obsah sa rovná 1/3 obsahu 20,8 cm2.
Čiže S2 sa musí rovnať hodnote 20,8/3
20,8
S2 = ----------- = 6,9 cm2.
3
Z tejto hodnoty si teraz musíme vyrátať dĺžku strany trojuholníka, ktorý si označíme ako trojuholník č.2. Ideme presne opačne, ako sme rátali doteraz.
a . va
S2 = ------------ dosadím za S2
2
a. va
6,9 = ----------- zo vzorca č.2 si vyjadríme výšku: va = a . sin ß
2 a po dosadení dostaneme:
a . a . sin ß a2. sin 60o
6,9 = --------------- = -------------
2 2
a2. 0,866
6,9 = ------------- úpravou vzťahu a vyjadrením pre a dostaneme:
2
a2 = 16 z toho a = 4 cm
Teraz, keď máme vyrátanú dĺžku strany a rovnostranného trojuholníka, nie je problém vyrátať obvod tohoto trojuholníka:
Vzťah pre obvod: o = a + b + c
Pre rovnostranný trojuholník: o = 3.a
Dosadíme: o = 3 . 4
O = 12 cm
Obvod hľadaného trojuholníka je 12 cm.
Použitá lieratúra: Prehľad stredoškolskej matematiky, matematické tabuľky