Vypracovala: Petra Podmanická

 

Teoretická časť

Hyperbola môže byť s priamkou v troch vzájomných polohách, a to ako:

  1. Dotyčnica
     
  1. Sečnica
     
  1. Nesečnica

 
To, v akej polohe sú pri riešení príkladov, zistíme tak, že si vyriešime sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Majme teda vo všeobecnosti hyperbolu H a priamku p, ktoré sú vyjadrené nasledovne:

H: b2x2 - a2y2 = a2b2
p: y = k*x +q


Rovnicu priamky dosadíme do rovnice hyperboly za neznámu „y“. (V prípade, že máme rovnicu priamky zadanú inak, pretransformujeme ju do smernicového tvaru). Postup vyzerá nasledovne:
 
b2x2 – a2y2 = a2b2..... dosadíme za y z priamky p a upravujeme do tvaru, aby sme dostali kvadratickú rovnicu

b2x2 – a2(k*x + q)2 = a2b2

b2x2 – a2k2x2 – 2*a2*k*x*q – a2q2 – a2b2 = 0
x2*(b2 – a2k2) + x*(–2*a2*k*q) + a2(–q2 – b2) = 0

       A                          B                   C
 
Ďalší postup je taký, že si určíme diskriminant takejto kvadratickej rovnice. Ten má všeobecný vzorec: D = B2 – 4*A*C


Keď si teda za jednotlivé koeficienty A, B, C dosadíme hodnoty z našej rovnice, dostaneme:
D = (–2*a2*k*q)2 - 4*(b2 – a2k2)*a2(–q2 – b2)

A po úpravách dostávame:
D = 4a2b2(–a2k2 + b2 + q2)

A teraz podľa tohto diskriminantu môžeme určiť, v akej polohe sú hyperbola a priamka. A teda, ak

  1. D > 0 jedná sa o sečnicu, rovnica má dve riešenia, z ktorých dostaneme súradnice dvoch bodov, v ktorých sa priamka s hyperbolou pretína. Počítame podľa vzorca:
     
  1. D < 0 jedná sa o nesečnicu.
  2. D = 0 jedná sa o dotyčnicu. Ďalším riešením dostaneme jednu hodnotu neznámej, pomocou ktorej potom dostaneme súradnice dotykového bodu. Počítame podľa vzorca:
     


Praktická časť
Určte vzájomnú polohu hyperboly a priamky, ktoré sú vyjadrené nasledovne:
 
H: 16x2 - 25y2 = 400
p: x – y + 3 = 0
 
V prvom rade si priamku z jej všeobecnej rovnice prerobíme na rovnicu v smernicovom tvare a rovnicu hyperboly si upravíme tak, aby sme z nej mohli prečítať koeficienty. Takže najskôr priamka: Aby sme dostali rovnicu zo všeobecného tvaru do smernicového stačí, ak si vyjadríme „y“: y = x + 3
 

Teraz si upravíme hyperbolu: 16x2 – 25y2 = 400. Koeficienty, ktoré máme sú nasledovné:

a = 5
b = 4

(a2*b2) = (4*5)2 = 202 = 400 \rightarrow pravá strana rovnice sa zhoduje vzhľadom na všeobecnú rovnicu hyperboly, uvedenú v teórii.

 
Teraz priamka: y = x + 3
k = 1
q = 3
 

Toto teraz dosadíme do rovnice, aby sme zistili hodnotu diskriminatu:

D = 4a2b2(–a2k2 + b2 + q2) = 4*52*42*(-52*12 + 42 + 32) = 4*25*16*(-25 + 16 + 9)=1600*0 =0

Nakoľko nám diskriminant vyšiel rovný nule, daná priamka je dotyčnica.

Hyperbola má teda jednu dotyčnicu vo forme priamky (y = x + 3), ale existuje k nej aj druhá dotyčnica, pre ktorú platí, že jej smernica je opačná ako je smernica prvej dotyčnice, a teda, ak táto naša priamka má smernicu k=1, tak druhá dotyčnica bude mať smernicu k= –1. Druhá dotyčnica bude mať rovnicu y = –x + 3


 
Akú hodnotu by musela mať smernica, aby priamka bola sečnica?

Napíšeme si rovnicu platnú pre diskriminant s tým, že smernica k bude neznáma. Nakoľko, aby bola priamka sečnicou, diskrimant musí byť väčší ako nula. Riešime teda kvadratickú nerovnicu:
D = 4a2b2(–a2k2 + b2 + q2) > 0
D = 4*52*42*(-52*k2 + 42 + 32) = 4*25*16*(-25 + k2 + 9) = 1600*(k2 – 16) > 0
1600*(k2 -16) > 0
k2 – 16 > 0

k > ±4
k \in (-∞, -4) \cup (4, ∞)
 

A teda, aby bola priamka sečnicou danej hyperboly, musí byť smernica priamky v intervale

(-∞, -4) \cup (4, ∞)



Úlohy

  1. V akých polohách môže byť priamka a hyperbola?
  2. Ako sa určuje vzájomná poloha priamky a hyperboly?
  3. Ako určíte súradnice priesečníka priamky a hyperboly?


Použitá literatúra:

Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.