Vypracovala: Petra Podmanická


 
Teoretická časť


Parabola môže byť s priamkou v troch vzájomných polohách, a to ako:
  1. Dotyčnica
     
  1. Sečnica
     
  1. Nesečnica

To, v akej polohe sú pri riešení príkladov, zistíme tak, že si vyriešime sústavu dvoch lineárnych rovníc o dvoch neznámych. Majme teda vo všeobecnosti parabolu P a priamku b, ktoré sú vyjadrené nasledovne:

P: y2 = 2*p*x
b: y = k*x +q


Rovnicu priamky dosadíme do rovnice paraboly za neznámu „y“. (V prípade, že máme rovnicu priamky zadanú inak, pretransformujeme si ju do smernicového tvaru). Postup vyzerá nasledovne:

y2 = 2*p*x ..... dosadíme za y z priamky b a upravujeme do tvaru, aby sme dostali kvadratickú rovnicu
(k*x + q)2 = 2*p*x
k2x2 + 2*k*x*q + q2 – 2px = 0
x2*( k2) + x*(2*k*q – 2p) + q2 = 0

    A                  B            C


Ďalší postup je taký, že si určíme diskriminant takejto kvadratickej rovnice. Ten má všeobecný vzorec: D = B2 – 4*A*C

 
Keď si teda za jednotlivé koeficienty A, B, C dosadíme hodnoty z našej rovnice, dostaneme:
D = (2*k*q – 2p)2 – 4*( k2)*(q2)
 
A po úpravách dostávame:

D =4p*[p – 2*k*q]


A teraz podľa tohto diskriminantu môžeme určiť v akej polohe sú parabola a priamka. A teda, ak

  1. D > 0 jedná sa o sečnicu, rovnica má dve riešenia, z ktorých dostaneme súradnice dvoch bodov, v ktorých sa priamka s parabolou pretína. Počítame podľa vzťahu:
     
  1. D < 0 jedná sa o nesečnicu.
  2. D = 0 jedná sa o dotyčnicu. Ďalším riešením dostaneme jednu hodnotu neznámej, pomocou ktorej potom dostaneme súradnice dotykového bodu. Počítame podľa vzťahu:
     

Praktická časť

Určte smernicu priamky tak, aby bola dotyčnicou paraboly. Priamka aj parabola sú vyjadrené nasledovne:
P: y2 = 8x
b: -k*x + y = 8


V prvom rade si rovnicu priamky prevedieme na smernicový tvar:

y = 8 + k*x

 
Z rovnice paraboly a rovnice priamky si vypíšeme, čomu sa rovnajú hodnoty jednotlivých parametrov, t.j.:
p = 4
k = k
q = 8
 
A toto teraz dosadíme do rovnice diskriminantu:

D =4p*[p – 2*k*q] = 4*4*(4- 2*8*k) = 16*(4 - 16k)


Keďže chceme dostať dotyčnicu, musí sa diskriminant rovnať nule:
16*(4 – 16k) = 0
4 - 16k = 0
16k = 4
k = 1/4

Čiže rovnica priamky, ktorá je dotyčnicou ku parabole je:

y = x/4 + 8


Teraz si určíme dotykový bod a to tak, že zo sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych si vypočítame hodnotu x:

 
Tieto vypočítané hodnoty si dosadíme do rovnice priamky a vypočítame si hodnotu „y“
  1. Priamka
y = 8 +32/4 = 16
  1. Parabola = ako kontrola správnosti
y2 = 8*32
y = \sqrt[]{256}
y = 16

Záver: Priamka b je dotyčnica paraboly P a dotýka sa jej v bode D[32, 16]

 
Úlohy

  1. V akom vzájomnom vzťahu môže byť parabola a priamka?
  2. Ako vypočítame v akom vzťahu sú priamka a parabola?
  3. Ako určíme súradnice priesečníka a dotykového bodu?


Použitá literatúra:

Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.