Vypracovala: Petra Podmanická


Exponenciálne rovnice sú také rovnice, ktoré obsahujú neznámu (výraz obsahujúci neznámu) v exponente:
af(x) = bg(x)
 
Možno ich riešiť buď úpravou na spoločný základ, substitúciou (nahradením), rozkladom na súčin alebo riešenie logaritmovaním


 
Riešenie úpravou na spoločný základ
Využívame tu pravidlo, ktoré hovorí, že ak sú základy oboch strán rovníc rovnaké, musia sa rovnať aj ich exponenty, t.j.: AK a = b potom aj f(x) = g(x)


Príklad: Riešte rovnicu 4(x – 2) = 2-3

Upravíme si ľavú stranu tak, aby nám sedel s ľavou stranou, t.j. štvorku upravíme na dvojku: (2*2)(x – 2) = 2-3
 
Teraz využijeme pravidlá o operáciách s mocninami a doupravujeme si ľavú stranu:

(2*2)(x – 2) = 2-3
22*(x-2) = 2-3

 
Keďže platí, že sa rovnajú základy rovnice, musia sa zákonite rovnať aj exponenty rovnice, a teda:
2*(x – 2) = -3
2x – 4 = -3

x = ½



Riešenie úpravou na súčin

Riešenie spočíva v postupnom upravovaní rovnice tak, aby sme dostali tvar rovnice v súčinovom tvare, napr. (af(x) – b)*(cf(x) – d)*.... = 0. Resp. ak si to chceme napísať vo všeobecnom tvare, tak: ax + mbx + ncx + k = 0

Príklad: Riešte rovnicu: 12x – 8*3x = 3*4x – 24

V prvom rade si porozkladáme jednotlivé základy do najjednoduchšieho možného tvaru:
6x*2x – 8*3x = 3*2x2x – 8*3
3x2x2x – 4*2*3x = 3*2x2x – 2*4*3
 
Vyjmeme pred zátvorku:
3x(2x2x – 4*2) = 3*(2x*2x – 2*4)
 
Prirovnáme k nule, upravíme a riešime:
3x(2x2x – 4*2) – 3*(2x*2x – 2*4) = 0
(3x – 3)(2x2x – 4*2) = 0

 
Z prvej rovnice dostaneme: (3x – 3) = 0 \rightarrow x = 1
Z druhej rovnice dostaneme: (2x2x – 4*2) = 0  \rightarrow 22x = 23 \rightarrow x = 3/2



Riešenie logaritmovaním

Riešenie spočíva v zlogaritmovaní oboch strán rovnice.
Máme vo všeobecnosti zadanú exponenciálnu rovnicu: af(x) = b.

Obidve strany zlogaritmujeme: log af(x) = log b
Využijeme pravidlo o logaritmovaní (log ax = x*log a): f(x)*log a = log b
Osamostatníme x: f(x) = log a/log b


Príklad: Riešte rovnicu 10(-2x+4) = 100
Zlogaritmujeme obe strany rovnice:
log 10(-2x+4) = log 100
 
Použijeme vzorec log ax = x*log a:
(-2x + 4)* log 10 = log 100
 
Upravíme:
-2x*log 10 + 4*log 10 = 2*log 10
 
Osamostatníme x:
-2x*log 10 = 2*log 10 – 4*log 10
-2x = (2*log 10 – 4* log 10)/log 10
x= -\frac{1}{2} * \frac{2*log10 - 4*log10}{log10}
 
Vypočítame x:

x = 1



Riešenie substitúciou

Princíp takéhoto riešenia spočíva v nahradení zložitejšej premennej za jednoduchšiu, s ktorou príklad ľahšie vypočítame.

Príklad: Riešte rovnicu 32x+1 + 4*3x+1 = 63

 
Rozpíšeme si rovnicu na menšie časti:
3*32x + 4*3*3x = 63
 
Upravíme a dáme všetko na ľavú stranu:
3*32x + 12*3x – 63 = 0
 
Nahradíme – miesto 3x = p
3*p2 + 12*p – 63 = 0
 
Zjednodušíme a rozložíme na súčin:
p2 + 4p – 21 = 0
(p – 3)*(p + 7)
p1 = 3 – iba toto je možné riešenie
p2 = -7 – toto nie je riešenie, lebo je záporné
 
Riešime ďalej:

p = 3x
3 = 3x
x = 1



Použitá literatúra:

Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.