Vypracovala: Petra Podmanická
Priamka môže byť v polohe s kužeľosečkami v podobe:
-
Dotyčnice – dotýka sa ich v bode D[x, y]
-
Sečnice – pretína ich v bodoch S[x1, y1] a Z[x2,y2]
-
Nesečnice - neprechádza nimi, nepretína ich v žiadnom bode
Aby sme zistili, v akej sú vzájomnej polohe priamka a kužeľosečky, musíme vypočítať diskriminant kvadratickej rovnice, ktorá nám vznikne ak rovnicu priamky dosadíme do rovnice kužeľosečky (priamku máme vyjadrenú v smernicovom tvare a dosadzujeme sa neznámu „y“). Ak:
-
D = 0, jedná sa o dotyčnicu
-
D > 0, jedná sa o sečnicu
-
D < 0, jedná sa o nesečnicu
V nasledujúcej tabuľke sú uvedené rovnice diskriminantov platné pre jednotlivé kužeľosečky. Priamku máme vyjadrenú vo všetkých troch prípadoch rovnako, a to v smernicovom tvare, t.j.: p = kx + q
|
|
Rovnica kužeľosečky
|
Rovnica diskriminantu
|
|
Kružnica
|
x2 + y2 = r2
|
D =4*[r2(1 + k2) – q2]
|
|
Elipsa
|
b2x2 + a2y2 = a2b2
|
D = 4a2b2(a2k2 + b2 – q2)
|
|
Parabola
|
y2 = 2*p*x
|
D =4p*[p – 2*k*q]
|
|
Hyperbola
|
b2x2 - a2y2 = a2b2
|
D = 4a2b2(–a2k2 + b2 + q2)
|
Veľakrát sa môžeme stretnúť s príkladom, kde máme určiť súradnice priesečníkov, resp. dotykového bodu. Platia tu nasledovné vzťahy: (sú uvedené pre výpočet súradnice „x“. Súradnicu „y“ potom dopočítame tak, že dosadíme súradnicu „x“ do rovnice priamky (kužeľosečky))
Dotykový bod:
|
|
Súradnice dotykového bodu
|
|
Kružnica
|
 |
|
Elipsa
|
 |
|
Parabola
|
 |
|
Hyperbola
|
 |
Priesečníky:
|
|
Súradnice priesečníkov
|
|
Kružnica
|
 |
|
Elipsa
|
 |
|
Parabola
|
 |
|
Hyperbola
|
 |
Použitá literatúra:
zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.
vlastné poznámky