Goniometrické funkcie II. = vlastnosti a príklad

Vypracovala: Petra Podmanická

Teoretická časť

V prvej časti tejto témy, boli spomínané základné pojmy patriace ku goniometrickým funkciám. Okrem iného sme si zadefinovali, že sínus je funkcia, pre ktorú na platí:

sin x = y_A , kosínus je funkcia, pre ktorú platí: cos x = x_a_,tangens je funkcia, pre ktorú platí: $tgx=frac{sin x}{cos x} ... Qualitätseinstellungen unter performance.vodafone.de$ a kotangens je funkcia, pre ktorú platí: $cot gx =frac{cos x}{sin x} = frac{1}{tgx} ... Qualitätseinstellungen unter performance.vodafone.de$

V rámci tejto témy si bližšie rozoberieme vlastnosti týchto funkcií a vypočítame si jednoduchý príklad, resp. nakreslíme si nejaký jednoduchý graf goniometrickej funkcie:

Vlastnosti goniometrických funkcií

Definičný obor funkcií sínus a kosínus sú všetky reálne čísla, definičný obor funkcie tangens je D(f) = R – {(2k + 1)* $\pi$ /2}, funkcie kotangens D(f) = R – {k* $\pi$ }
Oborom hodnôt funkcií sínus a kosínus sú čísla na intervale <-1; 1> a oborom hodnôt funkcií tangens a kotangens sú všetky reálne čísla
Kosínus je funkcia párna ( cos (-x) = cos x), všetky ostatné sú nepárne ( f(-x) = - f(x))
Funkcie sínus a kosínus sú ohraničené na D(f), funkcie tangens a kotangens nie sú ani zdola ani zhora ohraničené
Funkcie sínus a kosínus sú aj rastúce aj klesajúce, funkcia tangens je iba rastúca a funkcia kotangens je iba klesanúca
Funkcia tangens a kotangens nemajú ani maximum ani minimum, funkcia sínus dosahuje maximum v bode [ $\pi$ /2 + 2k $\pi$ ; 1] a minimum v bode [3 $\pi$ /2 + 2k $\pi$ ; -1] a funkcia kosínus dosahuje maximum v bode [2k $\pi$ ; 1] a minimum v bode [ $\pi$ + 2k $\pi$ ; -1]
Všetky štyri funkcie sú periodické s najmenšou periódou je 2* $\pi$ = sínus a kosínus a $\pi$ = tangens a kotangens
Funkcie sínus a kosínus sú spojité, funkcie tangens a kotangens sú nespojité

Príklad: Narysujte na intervale (0, 2p) graf funkcie, ktorá je daná predpisom: y = 2*cos (x - $\pi$ /2)

Riešenie:

Jedná sa o funkciu kosínus, čiže D(f) = všetky reálne čísla. Oborom hodnôt by mal byť interval (-1, 1), ale nie je, nakoľko my máme zadané 2*cos (), čiže oborom hodnôt bude interval 2*(-1,1), t.j. H(f) = <-2,2>. Perióda 2p ostáva nezmenená.

Nakoľko máme zadané v zátvorke (x - $\pi$ /2), tak celá funkcia bude posunutá o $\pi$ /2 doprava (bude vychádzať z nuly, ako kebyže kreslíme sínus)

Aby sme graf mohli načrtnúť potrebujeme poznať jeho maximum, minimum a všetky nulové body na intervale (0, 2 $\pi$ ). A teda:

1. Nulové body určíme tak, že prirovnáme celú funkciu k nule a riešime:

2*cos (x - $\pi$ /2) = 0

cos (x - $\pi$ /2) = 0

z = x - $\pi$ /2

cos z = 0

Kosínus nadobúda nulové hodnoty v bodoch z1 = $\pi$ /2 a z2 = 3 $\pi$ /2

z1 = x1 - $\pi$ /2 $\rightarrow$ x1 = z1 + $\pi$ /2 = $\pi$ /2 + $\pi$ /2 = $\pi$

z2 = x2 - $\pi$ /2 $\rightarrow$ x2 = z2 + $\pi$ /2 = 3 $\pi$ /2 + $\pi$ /2 = 2 $\pi$

2. MAX a MIN: Ak max funkcie cos x je v bode 2k $\pi$ , tak maximum cos (x - $\pi$ /2) bude v bode $\pi$ /2 + 2k $\pi$ . Ak minimum funkcie cos x je v bode $\pi$ + 2k $\pi$ , tak minimum funkcie cos (x - $\pi$ /2) bude v bode $\pi$ + 2k $\pi$ + $\pi$ /2 = 3 $\pi$ /2 + 2k $\pi$ . A teda na intervale (0, 2 $\pi$ ) je max = $\pi$ /2 a min = 3 $\pi$ /2

3. Maximum v bode $\pi$ /2 = 2 a minimum v bode 3 $\pi$ /2 = -2

A teraz môžeme načrtnúť graf:

Úlohy

1. Definujte sínus, kosínus, tangens, kotangens - vyjadrite ich vzorcami

2. Definujte vlastnosti goniometrických funkcií

3. Nakreslite graf goniometrickej funkcie vyjadrenej nasledovne: f: y = cos (x - $\pi$ /2)

Použitá literatúra:

Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.)
Prehľad z matematiky 2 od RNDr. Vladimír Burjan a kol.
Vlastné poznámky

Goniometrické funkcie II. = vlastnosti a príklad

Informácie

Kategórie