Goniometrické funkcie I. = základné pojmy

Vypracovala: Petra Podmanická

Teoretická časť

Na tomto obrázku môžete vidieť jednotkovú kružnicu. Je to teoretická kružnica s polomerom 1 (nie jeden centimeter, jednoducho len jedna ako bezrozmerná jednotka), ktorá sa v matematike používa, okrem iného, pre definíciu goniometrických funkcií.

Všimnite si, že sú na nej body P, Q, R, S. Tieto body predstavujú nasledovné:

• Bod P označuje uhol 0° a má súradnice P[1, 0] (môžeme povedať, že je to tiež uhol 360°, čiže 2*)

• Bod Q označuje uhol 90°, t.j. uhol /2 a má súradnice Q [0, 1]

• Bod R označuje uhol 180°, t.j. uhol a má súradnice R [-1, 0]

• Bod S označuje uhol 270°, t.j. 3*/2 a má súradnice S [-1, -1]

  • a medzi týmito bodmi sa postupne nachádzajú všetky ostatné uhly. Napríklad (čisto teoreticky) náš bod A má súradnice x = 0,6 a y = 0,75, nachádza sa v prvom kvadrante medzi uhlami 0 a , resp. 0° a 90° a zodpovedá mu uhol 50°

Na základe, alebo lepšie povedané prostredníctvom tejto jednotkovej kružnice môžeme definovať základné goniometrické funkcie, čiže sínus, kosínus a pomocou nich potom definovať tangens a kotangens a tiež zakresliť ich grafy:

1. Sínus je funkcia, ktorá každému reálnemu číslu priradí druhú súradnicu bodu A, resp. sínus sú y-ové súradnice bodov, t.j. :

sin x = y_A

2. Kosínus je funkcia, ktorá každému reálnemu číslu priradí prvú súradnicu bodu A, kosínus sú x-ové súradnice bodov, t.j.:

cos x = x_a

3. Tangens je funkcia, ktorá každému reálnemu číslu priradí:

tg x = (sin x)/(cos x)

4. Kotangens je funkcia, ktorá každému reálnemu číslu priradí:

cotg x = (cos x)/(sin x)

Vráťme sa ešte k našej jednotkovej kružnici. Všimnite si, že je rozdelená na 4 časti. Tieto štyri časti nazývame kvadranty, t.j. štvrť kružnice. Pre každý kvadrant je typické, že goniometrická funkcia sa v ňom spáva inak, resp. v rôznych kvadrantoch môžu mať funkcie rôzne znamienka. A keď sa dobre na tú kružnicu pozriete a popremýšľate, prídete k nasledujúcim záverom:

• Sínus je kladný v prvom a druhom kvadrante, naopak záporný v treťom a štvrtom kvadrante

• Kosínus je kladný v prvom a štvrtom kvadrante, naopak je záporný v druhom a treťom kvadrante

• Tangens (podobne je aj kotangens) ako pomer sínusu a kosínusu je kladný tam, kde sú obe funkcie kladné alebo záporné (vychádza to pri prvom a treťom kvadrante) a záporný je tam, kde majú funkcie rozdielne znamienka (druhý a štvrtý kvadrant)

Pre lepšie pochopenie uvádzam prehľadnú tabuľku:

Úlohy

1. Definujte jednotkovú kružnicu

2. Definujte všetky goniometrické funkcie

3. Definujte aké hodnoty nadobúdajú goniometrické funkcie v jednotlivých kvadrantoch

Použitá literatúra:

• Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.

• Prehľad z matematiky 2 od RNDr. Vladimír Burjan a kol.

• Wikipedia.sk