Kužeľ

Vypracovala: Petra Podmanická

Kužeľ je priestorový útvar s jednou kruhovou podstavou s polomerom r a výškou v idúcou od stredu podstavy po vrchol telesa.Kužeľ tiež vznikne, ak bude pravouhlý trojuholník vrs rotorvať okolo odvesny v.

Pred tým, ako napíšem vzorce pre výpočet povrchu a objemu kužeľa, je treba, aby sme si odvodili výpočet stenovej výšky kužeľa = strana kužeľa (úsečka, ktorej krajné body sú vrchol kužeľa a ľubovoľný bod na kružnici podstavy) = s.

Všimnite si, ako je zakreslená strana s na obrázku. Čo z neho môžeme vydedukovať? No najmä to, že existuje nejaký trojuholník so stranami r, s, v, ktorý je pravouhlý (výška je vždy kolmica, aj telesová a v tomto prípade je kolmá na polomer).Preto, pre tieto tri strany platí nasledujúci vzťah (Pytagorova veta):

s² = v² + r²

Teraz si môžeme napísať vzorce, ktoré platia pre povrch a objem. Objem je jednoduchší, je to ako obsah valca, ale predelený tromi, t.j.:

$V=\frac{1}{3}\pi . r^{2} . v$

Povrch je trochu komplikovanejší. Určite je daný súčtom obsahu podstavy a obsahu plášťa. Obsah podstavy je jednoduchý (je to obsah kruhu), t.j.

$S_{podstavy}=\pi . r^{2}$

Čo sa plášťa týka, ak by sme ho rozložili do roviny, dostali by sme kruhový výsek s polomerom s a kruhovým poloblúkom, čo je vlastne obvod kruhu:

Splášťa $=\pi . r.s$ ako sme sa k takémtu vzorcu dostali? Máme vlastne výsek, ktorý má obvod $2.s+2.\pi.r$ (1.obrázok) a my si tento kruhový výsek prenesieme na obdĺžnik s rovnakým obvodom (2.obrázok) a nakoniec, ako všetci dobre vieme obsah obdĺžnika je

S = a*b ....... teda ....... $S=\pi.r.s$

A teda pre povrch kužeľa platí:

$S=\pi.r^{2}+\pi.r.s$

Zrezaný rotačný kužeľ je priestorový útvar s dvoma kruhovými podstavami a výškou v.Vznikne, ak od kužeľa s polomerom r₂ odpočítame kužeľ s polomerom r_1.Tiež môžeme povedať, že vznikne rotáciou pravouhlého lichobežníka okolo jeho výšky.

Najskôr vyriešime povrch, pretože v tomto prípade je ten jednoduchší. Obsah podstáv je jednoduchý, je to:

$S_{p1}=\pi r_{1} ^{2}$

$S_{p2}=\pi r_{2} ^{2}$

Teraz plášť. Budeme postupovať rovnako ako v prípade klasického kužeľa, čiže si plášť rozložíme a pretransformujeme na obdĺžnik. Všetko je znázornené na nasledujúcich obrázkoch:

Teraz to všetko spočítame a dostaneme:

$S=S_{p1}+S_{p2}+S_{plasta}=\pi .(r_{1} ^{2}+r_{2} ^{2})+s.\pi .(r_{1}+r_{2})$

A teraz objem. Majme kužeľ s podstavou s polomerom r1 a výškou v1. Jeho objem sa vypočíta ako $V_{1}=\frac{\pi .v_{1}.r_{1} ^{2}}{3}$ . Teraz od tohto kužeľa odpočítame menší kužeľ, ktorý má výšku v2 a polomer r2 a teda jeho objem sa rovná $V_{2}=\frac{\pi .v_{2}.r_{2} ^{2}}{3}$ . Dostaneme náš zrezaný kužeľ, ktorého objem sa rovná:

$V=V_{1}-V_{2}=\frac{1}{3}.\pi .(v_{1}.r_{1} ^{2} - v_{2}.r_{2} ^{2})$

Lenže my poznáme polomery a výšku zrezaného kužeľa v. Musíme si teda upraviť tento vzorec. Platia nasledovné dve pravidlá:

v = v1 – v2

v1:v2 = r1:r2

A po dosadení do pôvodného vzťahu a postupnom upravovaní dostávame:

$V=\frac{1}{3}.\pi .v.(r_{1} ^{2}+r_{2} ^{2}+r). r_{1}.r_{2}$

Použitá literatúra:

Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.

Vlastné poznámky

Informácie

Kategórie