Nerovnice s absolútnou hodnotou

 Vypracovala: Petra Podmanická

Nerovnice s absolútnou hodnotou sú nerovnice, v ktorých neznáma alebo celkový výraz obsahujúci neznámu sa nachádzajú v absolútnej hodnote. Vyriešiť takúto nerovnicu znamená nájsť takú neznámu (x), ktorá po dosadení do pôvodnej nerovnice vyhovuje danej nerovnici a všetkým podmienkam tejto nerovnice.

Tieto nerovnice sa dajú riešiť viacerými spôsobmi ako napríklad jednoduchými úpravami, nulovými bodmi, umocnením...Všetky tieto spôsoby však majú spoločné to, že na začiatku je nutné určenie definičného oboru nerovnice a teda podmienok, pri ktorých má daná nerovnica zmysel (riešenie).

Majme teda nerovnicu |2x - 1| ≤ 3. Vyriešime si ju dvoma spôsobmi, a to

1. Metódou nulových bodov

Jej princíp spočíva v určení nulových bodov pre každý výraz nachádzajúci sa v absolútnej hodnote, pričom hodnoty, ktoré z tejto rovnosti dostaneme nám určia intervaly, na ktorých danú nerovnicu riešime. Je vhodná na použitie v prípade troch a viacerých absolútnych hodnôt. (samozrejme sa dá použiť aj pri menšom počte)

Postup:

• Určíme si nulové body, a to tak, že výraz/výrazy v absolútnej hodnote prirovnáme k nule, t.j.:

2x - 1 = 0

2x = 1

x = ½

• Toto číslo nám rozdelilo interval reálnych čísiel na dva podintervaly, t.j.:

I₁ = (-∞; 1/2>

I₂ = <1/2; ∞)

• V rámci týchto intervalov, teraz budeme riešiť nerovnicu, t.j. vyriešime ju pre interval I₁ a pre I₂. Vyzerá to asi takto:

pre prvý interval pôvodný výraz v absolútnej hodnote nadobúda tvar -2x + 1, (dosadíme do rovnice číslo napríklad 0 a dostaneme, že celý ten výraz je záporný) a teda riešime nerovnicu

-2x + 1 ≤ 3

-2x ≤ 2

x ≥ -1

x ≥ -1 ….→….P₁ = <-1, ∞)

• pre druhý interval tento výraz nadobúda tvar 2x - 1, a teda riešime nerovnicu

2x - 1 ≤ 3

2x ≤ 4

x ≤ 2

x ≤ 2….→….P₂ = (-∞; 2>

• Teraz zistíme, riešenie a to tak, že spravíme prienik jednotlivých intervalov

W₁ = I₁ P₁ = (-∞, ½> <-1, ∞) = <-1; ½>

W₂ = I₂ P₂ = <1/2; ∞) (-∞; 2> = <1/2, 2>

• Výsledné riešenie dostávame zjednotením intervalov W₁ a W₂

X = W₁W₂ = (-1; 2)

2. Umocnením

Túto metódu je vhodné používať v prípadoch kedy je umocňovanie tým najjednoduchším spôsobom, v prípadoch, kedy sú všetky výrazy v absolútnych hodnotách a vtedy, keď sú absolútne hodnoty iba dve. Neodkladnou súčasťou tejto metódy je skúška správnosti.

Postup:

• Umocníme obe strany nerovnice a riešime, t. j.:

|2x – 1| 3 ........ |²

4x² - 4x + 1 ≤ 9

4x² - 4x – 8 ≤ 0 ......| :4

x² – x – 2 ≤ 0

(x + 1)*(x – 2) ≤ 0

• Výsledkom je teda intervalI = <- 1, 2>

• A teraz už spomínaná nutná skúška správnosti. Pri nej si vyberieme dve hodnoty. Jednu spadajúcu do intervalu a jednu mimo neho. Takže si zvolíme hodnoty 0 a 10. Dostávame:

• avšak číslo nespadá do intervalu riešenia, takže je to správne, malo to tak byť, nakoľko ak by nám vyšlo niečo, čo platí, znamenalo by to, že aj toto číslo spadá do intervalu riešenia, čo by znamenalo, že naše riešenie nie je správne

Použitá literatúra:

Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.

Vlastné poznámky