Vlastnosti funkcií s využitím derivácií

Vypracovala: Petra Podmanická

Medzi základné vlastnosti funkcií patria definičný obor a obor hodnôt, monotónnosť, spojitosť a veci s ňou súvisiace, ohraničenosť, extrémy funkcie, konvexnosť/konkávnosť, inflexný bod, párnosť a nepárnosť, nulové body, periodicita, určenie asymptot, určenie inverznej funkcie. Všetky tieto vlastnosti sa dajú určiť na základe vzťahov vyplývajúcich s ich definícií, na základe obrázkov a iných možností. Sú však niektoré z uvedených vlastností, ktoré sa dajú určiť s využitím derivácií, a to prvých, druhých alebo tretích derivácií funkcie.

Zadefinujme si však v prvom rade, čo je derivácia. Derivácia funkcie f v bode a D(f) je nejaké číslo $f^{`}(a)=lim_{x ightarrow a} rac{f(x)-f(a)}{x-a}$ , ak táto limita existuje.

Teraz si bližšie popíšeme tie vlastnosti funkcie, ktoré možno určiť prostredníctvom derivácií. Sú to:

Monotónnosť funkcie, t.j. určenie, či je funkcia rastúca, klesajúca, nerastúca, neklesajúca. A teda, funkcia je :
- Rastúca, ak platí, že prvá derivácia funkcie je kladná, t.j.:

$f^{`}(x)succ 0$

Klesajúca, ak platí, že prvá derivácia funkcie je záporná, t.j.:

$f^{`}(x)prec 0$

Nerastúca, ak platí, že prvá derivácia funkcie je záporná alebo rovná nule, t.j.:

$f^{`}(x)leq 0$

Neklesajúca, ak platí, že prvá derivácia funkcie je kladná alebo rovná nule,t.j.:

$f^{`}(x)geq 0$

Extrémy funkcie, t.j. určenie, či má funkcia v danom bode maximum alebo minimum, alebo či funkcia vôbec nejaký extrém nadobúda. A teda funkcia má v bode [x_0,f(x₀)] lokálne:
- Maximum, ak je prvá derivácia v bode x0 nulová a druhá derivácia v bode x0 je záporná, t.j.:

$f^{`}(x0)= 0$ a súčasne $f^{``}(x0)prec 0$

Minimum, ak je prvá derivácia v bode x0 nulová a druhá derivácia v bode x0 je záporná, t.j.:

$f^{`}(x0)= 0$ a súčasne $f^{``}(x0)succ 0$

Nemá extrém, ak je prvá derivácia v bode x0 nulová a druhá derivácia v bode x0 je záporná, t.j.:

$f^{`}(x0)= 0$ a súčasne $f^{``}(x0)= 0$

Konvexnosť/ konkavnosť funkcie, t.j. vydutosť a vypuklosť funkcie najlepšie pochopíte, ak sa pozriete na nasledujúce dva obrázky:

A teda, funkcia je

Konvexná v bode [x₀, f(x₀)] ak platí, že druhá derivácia funkcie je kladná, t.j.:

$f^{``}(x)succ 0$

Konkavná v bode [x₀, f(x₀)] ak platí, že druhá derivácia funkcie je záporná, t.j.:

$f^{``}(x)prec 0$

Inflexný bod. Funkcia má v bode [x₀, f(x₀)] inflexný bod, ak platí, že prvá derivácia aj druhá derivácia sú nulové, avšak tretia derivácia nesmie byť nulová, t.j.:

$f^{`}(x)= 0$

$f^{``}(x)= 0$

$f^{```}(x) eq 0$

Spojitosť funkcie (či je na danom intervale plynulo spojitá, súvislá krivka). Funkcia je v bode b spojitá, ak má v tomto bode deriváciu, t.j. ak platí, že:

f(b) je definovaná

existuje limita: $lim_{x ightarrow b} f(x)$

a platí, že $lim_{x ightarrow b} f(x)=f(b)$

Ku spojitosti patrí ešte jeden pojem, a tým je nespojitosť a bod nespojitosti, čo je bod, v ktorom funkcia nie je spojitá. V takomto prípade sa určujú intervaly, na ktorých funkcia spojitá je. Môžu nastať tri prípady a sú uvedené na nasledovných obrázkoch:

Inverzná funkcia, ktorá existuje vtedy, ak je daná funkcia prostá. Pre takúto funkciu platí nasledovný vzťah:

Asymptoty, t.j. primky(a), ktoré sa vzťahujú k danej funkcii. Vzdialenosť priamok od bodov funkcie sa približuje k nule, pokiaľ vzdialenosť týchto bodov bez obmedzenia rastie. Poznáme:

Asymptoty bez smernice→ x = a priamka je kolmá na os x, nastáva ak má funkcia v bode a nevlastnú limitu sprava alebo zľava
Asymptoty so smernicou→ y = kx + q; kde :

Použitá literatúra:

Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.

Vlastné poznámky

Maturitné príklady z matematiky od RNDr. Burjan a kol.

Vlastnosti funkcií s využitím derivácií

Informácie

Kategórie