Vypracovala:Petra Podmanická
Inverzná matica je matica A-1, pre ktorú vzhľadom na maticu A platí: A*A-1=A-1*A=E
Majme maticu A3*3 a máme z nej spraviť inverznú maticu
Riešenie spočíva v postupných úpravách pôvodnej matice až do okamihu, kým z nej nebude matica jednotková. Súčasne s tým budeme tými istými krokmi upravovať jednotkovú maticu až kým z nej nedostaneme maticu inverznú.
Postup:
-
Vo všeobecnosti platí, že jeden riadok v rámci trojice riadkov (1,2,3 alebo 4,5,6 alebo 7,8,9 ....) ľubovoľne upravíme a ostatné dva v rámci tejto trojice tvoríme pomocou neho, pričom platí, že z prvého riadku dostaneme štvrtý riadok, z druhého riadku piaty riadok, z tretieho riadku 6 riadok, zo štvrtého riadku siedmy riadok......
-
A teda:
1.krok
Zapíšeme si maticu A a vedľa nej si zapíšeme jednotkovú maticu. Pre prehľadnosť si zapíšeme čísla riadkov
|
3
|
4
|
7
|
1
|
0
|
0
|
1.riadok
|
|
2
|
5
|
8
|
0
|
1
|
0
|
2.riadok
|
|
3
|
6
|
7
|
0
|
0
|
1
|
3.riadok
|
|
1.stĺpec
|
2.stĺpec
|
3.stĺpec
|
|
|
|
|
2.krok
To, čo potrebujeme v prvom rade urobiť je na mieste 1.riadok 1.stĺpec dostať číslo 1. Čo teda musíme urobiť, aby sme miesto čísla 3 mali číslo 1? Predelíme celý prvý riadok trojkou (aj maticu A aj jednotkovú maticu) → dostaneme štvrtý riadok tabuľky
|
3
|
4
|
7
|
1
|
0
|
0
|
1.riadok
|
|
2
|
5
|
|
0
|
1
|
0
|
2.riadok
|
|
3
|
6
|
7
|
0
|
0
|
1
|
3.riadok
|
|
1
|
4/3
|
7/3
|
1/3
|
0
|
0
|
4. riadok = 1.riadok/3
|
Ďalším krokom je urobiť také operácie, aby sme na všetkých ostatných (dvoch) miestach v prvom stĺpci dostali samé 0 - týmto dokončíme prvý stĺpec budúcej jednotkovej matice.
-
Takže chceme na mieste 1.stĺpec 2.riadok dostať nulu pomocou 4. riadku. Čo teda musíme urobiť? Nulu na tomto mieste dostaneme ak štvrtý riadok vynásobíme mínus dvojkou a pripočítame k druhému riadku:
piaty riadok = -2* 4.riadok + 2.riadok
-
Podobným spôsobom nulu na mieste 1.stĺpec 3.riadok tiež chceme nulu. Aby sme tam dostali nulu, tak štvrtý riadok vynásobíme mínus trojkou a pripočítame ku tretiemu riadku
šiesty riadok = -3* 4.riadok + 3.riadok
Nezabúdajte, že tieto úpravy sa netýkajú len prvých prvkov v rámci matice, ale všetkých prvkov v rámci daného riadku, t.j. aj jednotkovej matice.
Dostaneme teda:
|
3
|
4
|
7
|
1
|
0
|
0
|
1.riadok
|
|
2
|
5
|
8
|
0
|
1
|
0
|
2.riadok
|
|
3
|
6
|
7
|
0
|
0
|
1
|
3.riadok
|
|
1
|
4/3
|
7/3
|
1/3
|
0
|
0
|
4.riadok = 1.riadok/3
|
|
0
|
-2*4/3 + 5 =7/3
|
10/3
|
-2/3
|
1
|
0
|
5.riadok = -2*4.riadok + 2.riadok
|
|
0
|
-3*4/3+6=2
|
0
|
-1
|
0
|
1
|
6.riadok = -3*4.riadok + 3.riadok
|
3.krok
-
Teraz podľa vzoru jednotkovej matice musíme jednotku dostať na mieste 2.stĺpec 5.riadok a ostatné čísla v tomto stĺpci musia byť nuly. Takže ako musíme upraviť (teraz už) piaty riadok, aby sme dostali jednotku tam, kde potrebujeme? Prenásobíme celý tento riadok číslom 3/7 → dostaneme 8.riadok. Všetky ostatné čísla musia byť v rámci tohto bodu v 2.stĺpci nulové (pomocou 8.riadku)
-
siedmy riadok = -4/3 * 8.riadok + 4.riadok
-
deviaty riadok = -2*8.riadok + 6.riadok
Tým sme ukončili prácu v rámci tohto stĺpca
|
3
|
4
|
7
|
1
|
0
|
0
|
1.riadok
|
|
2
|
5
|
8
|
0
|
1
|
0
|
2.riadok
|
|
3
|
6
|
7
|
0
|
0
|
1
|
3.riadok
|
|
1
|
4/3
|
7/3
|
1/3
|
0
|
0
|
4.riadok = 1.riadok/3
|
|
0
|
-2*4/3 + 5 =7/3
|
10/3
|
-2/3
|
1
|
0
|
5.riadok = -2*4.riadok + 2.riadok
|
0
|
-3*4/3+6=2
|
0
|
-1
|
0
|
1
|
6.riadok = -3*4.riadok + 3.riadok
|
1
|
0
|
3/7
|
15/21
|
-4/7
|
0
|
7.riadok= -4/3*8.riadok + 4.riadok
|
|
0
|
1
|
10/7
|
-2/7
|
3/7
|
0
|
8.riadok = 5.riadok*(3/7)
|
0
|
0
|
-20/7
|
-3/7
|
-6/7
|
1
|
9.riadok = -2*8.riadok + 6.riadok
|
4.krok
-
poslednú jednotku, ktorú potrebujeme dostať je na mieste 3.stĺpec 9.riadok a ostatné v tomto stĺpci musia byť nula. Takže čo musíme urobiť aby sme tam tú jednotku dostali? Musíme ho prenásobiť číslom -7/20 – dostaneme 12.riadok
Výpočty ostatných bodov sa budú počítať pomocou tohto 12.teho riadku. A teda
-
desiaty riadok = -3/7*12. riadok + 7.riadok
-
jedenásty riadok = -10/7*12. riadok + 8. Riadok
Finálna verzia tabuľky:
|
3
|
4
|
7
|
1
|
0
|
0
|
1.riadok
|
|
2
|
5
|
8
|
0
|
1
|
0
|
2.riadok
|
|
3
|
6
|
7
|
0
|
0
|
1
|
3.riadok
|
1
|
4/3
|
7/3
|
1/3
|
0
|
0
|
4.riadok = 1.riadok/3
|
|
0
|
-2*4/3 + 5 =7/3
|
10/3
|
-2/3
|
1
|
0
|
5.riadok = -2*4.riadok + 2.riadok
|
|
0
|
-3*4/3+6=2
|
0
|
-1
|
0
|
1
|
6.riadok = -3*4.riadok + 3.riadok
|
|
1
|
0
|
3/7
|
15/21
|
-4/7
|
0
|
7.riadok= -4/3*8.riadok + 4.riadok
|
|
0
|
1
|
10/7
|
-2/7
|
3/7
|
0
|
8.riadok = 5.riadok*(3/7)
|
|
0
|
0
|
-20/7
|
-3/7
|
-6/7
|
1
|
9.riadok = -2*8.riadok + 6.riadok
|
|
1
|
0
|
0
|
0,65
|
-0,7
|
0,15
|
10.riadok=-3/7*12.riadok+7. riadok
|
|
0
|
1
|
0
|
-0,5
|
0
|
0,5
|
11.riadok=-10/7*12.riadok+ 8.riadok
|
|
0
|
0
|
1
|
0,15
|
0,3
|
-0,35
|
12.riadok = -7/20*9.riadok
|
Žltým zobrazené je inverzná matica k matici A
Výsledok riešenia si overíte tak, že inverznú maticu prenásobíte pôvodnou maticou A. Ak vám vyjde matica jednotková riešili ste správne
Použitá literatúra:
Vlastné poznámky