Vypracovala: Petra Podmanická

 

 

 

Za sústavu lineárnych rovníc považujeme zmes x rovníc, ktorá obsahuje x neznámych. Ak chceme pri ich riešení použiť matice (nie determinanty) snažíme sa takúto maticu upraviť vždy na trojuholníkový tvar, t.j. na takú maticu, aby čísla pod jej diagonálou boli nulové, t.j:

 

Zdroj: Petra Podmanická


 

Takto môžeme riešiť sústavu 3 rovníc s troma neznámymi, 4 rovníc so štyrmi neznámymi, 5 rovníc s piatimi neznámymi .... atď.

 

 

Všeobecné riešenie si ukážeme na sústave sústav dvoch rovníc s dvoma neznámymi.

 

  • V prvom kroku si každú sústavu musíme upraviť do tvaru:

 

a*x + b*y = c

d*x + e*y = f

 

  • Potom si parametre pri neznámych vložíme do matice:

 

Zdroj: Petra Podmanická

 

  • Aby sme príklad mohli vyriešiť, musíme na pozícií d dostať nulu (a–e je hlavná diagonála). Postup by v takom prípade bol:

    • prvý riadok opíšeme a druhý upravíme pomocou toho prvého (prenásobíme prvý riadok výrazom d/a a odpočítame od neho druhý riadok a dostaneme:

 

Zdroj: Petra Podmanická

 

 

Vyriešime sústavu piatich rovníc s piatimi neznámymi vyjadrenú v nasledujúcom tvare:

 

8p + 2q + 3r – 5s + t = 9

          p + q + r + s – t = 3

-4p – 3q + r – s + 12t = 29

3p + 7q + 8r + 3s – t = 29

2p + 2q + 2r + 2s + t = 15

 

 

 

V prvom kroku si rozpíšeme koeficienty do matice (pravá a ľavá strana). Ja to pre prehľadnosť uvádzam do tabuľky:

 


8
2
3
-5
1
9
1
1
1
1
-1
3
-4
-3
1
-1
12
29
3
7
8
3
-1
29
2
2
2
2
1
15

 

 

 

Potrebujeme takúto maticu upraviť tak, aby sme pod hlavnou diagonálou (čísla 8 1 1 3 1 ) dostali nuly, t.j. nuly miesto čísiel 1 1, -4 3 1, -3 7 8, 2 2 2 . Budeme to robiť postupným upravovaním:

 

 

1.krok = miesto čísla 1 potrebujeme nulu. Aby som ju dostala musím celý prvý riadok prenásobiť číslom -1/8 a pripočítať k riadku 2 (2R = -1/8*1R + 2R) a celý riadok následne na to prenásobíme číslom 8 (aby sme odstránili zlomky). Dostaneme čísla uvedené v tabuľke:

 


8
2
3
-5
1
9
0
6
5
13
-9
15
-4
-3
1
-1
12
29
3
7
8
3
-1
29
2
2
2
2
1
15

 

 

 

2.krok = miesto čísla -4 musíme dostať nulu. Prvý riadok predelíme dvomi a pripočítame ku riadku 3 (3R = ½*1R+3R). A následne prenásobíme celý riadok číslom 2, aby sme odstránili zlomky

 


8
2
3
-5
1
9
0
6
5
13
-9
15
0
-4
5
-7
25
67
3
7
8
3
-1
29
2
2
2
2
1
15

 

 

 

3.krok = miesto čísla 3 musíme dostať 0, takže prenásobíme prvý riadok -3 a pripočítame ho ku štvrtému riadku, ktorý sme pred tým prenásobili 8 (4R = -3*1R + 8*4R)

 


8
2
3
-5
1
9
0
6
5
13
-9
15
0
-4
5
-7
25
67
0
50
55
39
-11
205
2
2
2
2
1
15

 

 

 

4.krok = miesto čísla 2 potrebujeme nulu, preto musíme prvý riadok predeliť číslom -4 a pripočítať ku prvému riadku (5R = 5R + 1R/(-4)) a prenásobíme číslom štyri, aby sme riadok zjednodušili:

 


8
2
3
-5
1
9
0
6
5
13
-9
15
0
-4
5
-7
25
67
0
50
55
39
-11
205
0
6
5
13
3
51

 

 

 

5.krok = miesto čísla -4 potrebujem nulu a preto urobím nasledovnú úpravu:

 

2R= 3*3R+2*5R:

 

 


8
2
3
-5
1
9
0
6
5
13
-9
15
0
0
25
5
81
303
0
50
55
39
-11
205
0
3
5
13
3
51

 

 

 

6.krok = miesto čísla 50 potrebujem nulu a preto urobím nasledovnú úpravu:

 

4R= -50*2R+6*4R.

 


8
2
3
-5
1
9
0
6
5
13
-9
15
0
0
25
5
81
303
0
0
5
-26
24
30
0
6
5
13
3
51

 

 

 

7.krok = miesto čísla 6 potrebujem nulu a preto urobím nasledovnú úpravu:

 

5R= 2R-5R

 


8
2
3
-5
1
9
0
6
5
13
-9
15
0
0
25
5
81
303
0
0
5
-26
24
30
0
0
0
0
-12
-36

 

 

 

8.krok = miesto čísla 5 potrebujem nulu a preto urobím nasledovnú úpravu:

 

4R= 3R-5*4R

 


8
2
3
-5
1
9
0
6
5
13
-9
15
0
0
25
5
81
303
0
0
0
135
-39
153
0
0
0
0
-12
-36

 

 

 

9.krok = vypočítame si neznáme:

 

-12t = -36

t = 3

 

135s -39*3 = 153

s = 2

 

25r + 5s + 81t = 303

r = 2

 

6q + 5r + 13s – 9t = 15

q = 1

 

8p + 2q + 3r – 5s + t = 9

p = 1

 

 

 

Použitá literatúra:

 

Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.

Vlastné poznámky