Lineárna nerovnice – metóda nulových bodov

Teoretická časť

Metóda nulových bodov pri riešení LN (lineárne nerovnice) nachádza uplatnenie najmä v prípade zložitejších tvarov LN, a to najmä ak sú v tvare:

> < ≥ ≤ 0

Riešenie takejto rovnice spočíva v rozdelení LN na intervaly a riešenie v podobe lineárnych rovníc, t.j. postup je nasledovný:

1. Určíme si interval, na ktorom výraz nadobúda zmysel, t.j.:

(-∞, -d/c) ∪ (-d/c, ∞)

2. Určíme si nulové body, a to tak, že menovateľa aj čitateľa prirovnáme k nule a riešime ako lineárnu rovnicu:

• ax + b = 0 ax = -b x = -b/a

• cx + d = 0 cx = -d x = -d/a

3. Tieto nulové body (-b/a a –d/a) nám rozdelia interval (-∞, ∞) na tri intervaly (za predpokladu, že –d/a > -b/a) a to:

• (-∞, -b/a)

• (-b/a, -d/a)

• (-d/a, ∞)

4. Z každého intervalu si vyberieme jedno číslo, ktoré tam patrí, dosadíme do menovateľa aj čitateľa a určíme, či sú v tomto intervale kladné alebo záporné

1. Potom si určíme výsledné znamienko (ak bol čitateľ + a menovateľ –, tak výsledné znamienko je –), pozrieme sa na pôvodné zadanie LN a na základe neho zistíme, či tento interval patrí do riešenia alebo nie (výsledné znamienko bolo –, nerovnica je zadaná tak, že L(x) < 0, teda je záporná. Tento interval je riešením)

2. Výsledný interval je interval z bodu 5 upravený o interval v bode 1

Lepšie sa to pochopí na nasledujúcom príklade

Praktická časť

Riešte nerovnicu: ≥ 0

1. Určíme si interval, pre ktorý má výraz zmysel. Trošku si to zjednodušíme a určíme si, čomu sa x nesmie rovnať:

x ≠ 7/3

2. Určíme si nulové body, t.j. prirovnáme čitateľ aj menovateľ k nule a riešime:

2x – 3 = 0 7 – 3x = 0

2x = 3 7 = 3x

x = 3/2 x = 7/3

3. Tieto dva nulové body nám rozdelili interval na tri časti, t.j.:

1. (-∞, 3/2)

2. (3/2, 7/3)

3. (7/3, ∞)

4. Urobíme si prehľadnú tabuľku a do nej budeme zapisovať znamienka + alebo –

	(-∞, 3/2>	<3/2, 7/3>	<7/3, ∞)
2x – 3
7 – 3x
Výsledok

Zátvorky sme použili hranaté, lebo na základe zadania máme väčší alebo rovný. (ak by sme mali iba väčší/menší použili by sme klasické okrúhle zátvorky)

5. Teraz si z každého intervalu vyberieme jedno číslo, dosadíme do menovateľa aj čitateľa a určíme, či sú kladné alebo záporné:

• Z prvého intervalu si vyberiem číslo 1 a dosadím:

2*x – 3 = 2*1 – 3 = -1 = znamienko –

7 – 3*x = 7-3*1 = 4 = znamienko +

• Z druhého intervalu si vyberiem číslo 2 a dosadím:

2*x – 3 = 2*2 – 3 = 1 = znamienko +

7 – 3*x = 7 – 3*2 = 1 = znamienko +

• Z tretieho intervalu si vyberiem číslo 3 a dosadím:

2*x – 3 = 2*3 – 3 = 3 = znamienko +

7 – 3*x = 7 – 3*3 = -2 = znamienko –

6. Tieto znamienka dosadím do tabuľky a urobím výsledok ( ++ = +, – – = +, + – = –, – + = –)

	(-∞, 3/2>	<3/2, 7/3>	<7/3, ∞)
2x – 3	–	+	+
7 – 3x	+	+	–
Výsledok	–	+	–

7. Teraz sa pozrieme na zadanie. Podľa neho má byť ľavá strana rovnice kladná alebo rovná nule. Tým pádom nám vyhovuje iba prostredný interval. Zdalo by sa teda, že riešením je:

x ∈ <3/2, 7/3>

Avšak povedali sme si, že výsledok musí byť v súlade s bodom 1 a v tom sme si povedali, že x sa za žiadnych okolností nesmie rovnať číslu 7/3, a preto s náš výsledok prepíšeme do tvaru:

x ∈ <3/2, 7/3)