Vypracovala: Mgr. Mária Martinkovičová, PhD.


 

 

Kombinatorika- je oblasť matematiky, ktorá sa zaoberá riešením úloh typu:

 

  1. „Koľkými spôsobmi možno vybrať isté objekty? ”

  2. „ Koľkými spôsobmi možno usporiadať isté objekty? ”

  3. „ Koľkými spôsobmi zoradiť isté objekty? ”


 

Pri riešení jednoduchých úloh používame dve základné pravidlá – pravidlo súčtu a pravidlo súčinu.


 

Základné kombinatorické pravidlo súčinu si ukážeme na tomto príklade:

 

Žiaci dostali na písomke z chémie takúto dvojúrovňovú otázku (dvojúrovňová otázka je taká otázka, ktorá sa skladá z dvoch tzv. úrovní – t. j. v prvej časti otázky vyberieme z možností odpovede jednu, ktorá je podľa nás správna. V druhej časti otázky svoju odpoveď výberom jednej z možností zdôvodníme):

 

 

Kocka cukru sa rozpustí:

  1. v studenej vode rýchlejšie ako v horúcom čaji

  2. v horúcom čaji rýchlejšie ako v studenej vode

  3. záleží to od toho, či čaj/vodu s kockou pomiešame

  4. v oboch sa rozpustí rovnako rýchlo

  5. iné (doplň)....................


 

Ako by si zdôvodnil svoju odpoveď?


  1. V studenej vode majú častice menšiu kinetickú energiu ako v horúcom čaji a do cukru narážajú pomalšie; v horúcom čaji sú síce častice rýchlejšie, ale je ich tam viac a preto sa cukor nerozpustí tak rýchlo (pretože častice mu bránia v uvoľnení).

  2. Rozpustnosť cukru sa s teplotou nemení.

  3. Čím je vyššia teplota látky, tým väčšou rýchlosťou sa pohybujú jej častice, ktoré majú vyššiu kinetickú energiu. Tým sa zväčší úspešnosť zrážok a zvýši sa rýchlosť reakcie. Väzby medzi molekulami sacharózy v kocke cukru sa zvýšenou teplotou ľahšie a rýchlejšie popretŕhajú.

  4. iné (doplň) ..............................


 

Úloha: Koľkými možnými rôznymi kombináciami odpovedí z prvej a druhej časti otázky mohli žiaci odpovedať?

 

Riešenie: Na zistenie počtu rôznych kombinácií odpovedí môžeme použiť takúto tabuľku s piatimi stĺpcami (odpovede z 1.časti otázky) a štyrmi riadkami (odpovede v druhej časti otázky):

 

 

a

 

b

 

c

 

d

 

e

 

1

a1

b1

c1

d1

e1

 

2

a2

b2

c2

d2

e2

 

3

a3

b3

c3

d3

e3

 

4

a4

b4

c4

d4

e4


 

Počet možných odpovedí v 1.časti otázky je 5, počet možných odpovedí v druhej časti otázky je 4. Pokiaľ je možné v každej časti otázky vybrať len jednu odpoveď, potom počet rôznych kombinácii je 5 . 4 =20. Teda, počet možných kombinácií odpovedí z prvej a druhej časti otázky je rovný 20.

 

 

Základné kombinatorické pravidlo súčtu používame v úlohách, kde sa nám podarí rozdeliť skúmané skupiny do niekoľkých tried, pričom každá skupina patrí práve do jednej triedy. Jednotlivé triedy sú vzájomne disjunktné – to znamená že sa vzájomne vylučujú.

 

 

Teória pravdepodobnosti sa zaoberá určovaním pravdepodobnosti náhodných udalostí. Napríklad, ak by sa z Košíc do Bratislavy dalo cestovať 4 rôznymi trasami a jednu z nich by sme náhodne vybrali, každá možná cesta by mala „rovnakú šancu“ že ňou pôjdeme. Ak však jedna trasa by bola taká, že je cestujúcimi najviac využívaná, hovoríme, že je najpravdepodobnejšia. Pravdepodobnosť, že zvolíme práve zvolenú trasu je , teda 0,25 (jedna trasa voči počtu všetkých možných trás). Určovanie pravdepodobnosti si môžeme ukázať aj na príklade s hádzaním mincou. Šanca, že padne číslo je rovnaká, ako šanca, že padne znak. Hovoríme teda, že pravdepodobnosť padnutia znaku i padnutia čísla je 0,5.

 

Vo všeobecnosti platí, že ak má nejaký pokus n rovnako pravdepodobných možných výsledkov a pre k z nich nastane udalosť A, tak hovoríme, že pravdepodobnosť udalostí A je \frac{k}{n} .1

 

 

 

Štatistika

 

Štatistický súbor– je súbor ktorý je predmetom štatistického zisťovania, čo je určenie pozorovaných skutočností, (javov), z hľadiska ich hodnoty, druhu, číselnej veľkosti a pod.

 

Štatistické jednotky – sú jednotlivé prvky štatistického súboru. Pri každej štatistickej jednotke zisťujeme zvolený znak – napr. z hľadiska jeho hodnoty, druhu či číselnej veľkosti.

 

Štatistická tabuľka - je tabuľka, do ktorej zapisujeme zistené údaje pri štatistickom skúmaní. Každá štatistická tabuľka je obvykle rozdelená na:

 

  • hlavičku – je to tá časť tabuľky, ktorá označuje obsah stĺpcov;

  • stĺpec – tvorí kolmý číselný rad;

  • riadok tabuľky – vodorovný číselný rad;

  • legendu – vysvetľuje obsah riadkov;

  • pole – bunky s priestorom pre jednotlivé čísla.


 

Početnosť (frekvencia) - je počet štatistických jednotiek skúmaného súboru, ktoré majú rovnakú hodnotu znaku x. Početnosť označujeme symbolom fx.

 

Aritmetický priemer– je súčet všetkých hodnôt vydelený ich počtom. Zisťujeme ním priemernú hodnotu.

 

Pomerná (relatívna) početnosť – je číslo, ktoré vyjadruje, aká časť súboru má hodnotu znaku x. Vypočíta sa podielom početnosti fx a celkového počtu štatistických jednotiek N:

 

f`x=\frac{fx}{N}

 

Pri štatistickom spracovávaní údajov môžeme na ilustráciu výsledkov okrem tabuliek použiť i grafické znázornenie, čím dosiahneme, že podstatné súvislosti budú rýchlejšie a ľahšie pochopiteľné.


 

Príklad: 32 žiakov jednej triedy písalo na hodine slovenčiny diktát. Pri opravovaní našla pani učiteľka v jednotlivých diktátoch takýto počet chýb:

1, 3, 7, 5, 5, 6, 2, 0, 0, 9, 9, 7, 3, 3, 1, 1, 0, 7, 3, 4, 9, 9, 3, 4, 5, 5, 1, 0, 0, 3, 7, 11


Úlohy:

  1. Vytvorte tabuľku, do ktorej zaznamenáte:

  • Početnosť chýb v jednotlivých diktátoch

  • Vypočítanú relatívnu početnosť chýb v jednotlivých diktátoch v tvare zlomku, desatinného čísla a percenta

  1. Vypočítajte aritmetický priemer – koľko chýb priemerne urobil každý žiak?


 

počet chýb

 

fx

 

f´x

 

zlomok

 

desatinné čislo

 

%

0

5

5/32

0,156

15,6

1

4

4/32

0,125

12,5

2

1

1/32

0,031

3,1

3

6

6/32

0,188

18,8

4

2

2/32

0,063

6,3

5

4

4/32

0,125

12,5

6

1

1/32

0,031

3,1

7

4

4/32

0,125

12,5

8

0

0

0

0

9

4

4/32

0,125

12,5

10

0

0

0

0

11

1

1/32

0,031

3,1


  1. Určte v príklade štatistický súbor a štatistickú jednotku!

  2. Koľko žiakov napísalo diktát bez chyby?


Koľko chýb priemerne urobil jeden žiak v diktáte vypočítame tak, že sčítame súčiny jednotlivého počtu chýb a príslušnej početnosti a vydelíme celkovým počtom žiakov.


x = Zdroj: Mgr. Mária Martinkovičová, PhD.


Každý zo žiakov urobil v diktáte priemerne 3,875 chýb.


Poznámka: úlohy „c“ a „d“ sú „neriešené“, skús odpovedať sám!



 

Použitá literatúra:


Šedivý O. a kol: Matematika pre 6.,7.,8., a 9.ročník základných škôl, SPN, BA,2003

1Koreňová L.: Zvládni prijímacie skúšky z matematiky na stredné školy ľahšie a úspešnejšie, Aktuell BA, 2007

Martinkovičová, M.: Inovácia obsahu vybraných fyzikálnochemických tém v učive prírodovedných predmetov na stredných školách s využitím konštruktivistického prístupu

Dizertačná práca, Trnava, 2008

Vlastné poznámky