Lineárne nerovnice

Vypracovala: Mgr. Mária Martinkovičová, PhD

Lineárna nerovnica s neznámou x ∈ R je každá nerovnica tvaru (alebo taká nerovnica, ktorú možno algebrickými úpravami na takýto tvar upraviť):

kde a, b sú ľubovoľné reálne čísla

(znaky <, > nazývame znaky ostrej nerovnosti , znaky ≤, ≥ nazývame znaky neostrej nerovnosti)

Keď za premennú dosadíme konkrétne číslo, dostaneme nerovnosť, ktorá môže byť pravdivá, alebo nepravdivá. Riešením nerovnice sú všetky hodnoty premennej, pre ktoré daná nerovnosť platí. Ak majú dve rovnice rovnaké riešenie, hovoríme, že sú ekvivalentné.

Nerovnice môžu mať:

jedno riešenie
žiadne riešenie
nekonečne veľa riešení.

Veľmi dôležitá je množina v ktorej danú nerovnicu riešime.

Postup pri riešení lineárnych nerovníc:

Zjednodušíme obe strany nerovnice (teda odstránime z nerovnice všetky zátvorky, zlomky, ...)
Ekvivalentnými úpravami nerovnicu upravíme tak, aby sme získali nerovnicu typu: a.x < b; a.x > b; a.x ≤ b alebo a.x ≥ b

Ekvivalentné úpravy nám slúžia na to, aby sme z pôvodnej rovnice získali postupne (pomocou ekvivalentných úprav) čo najjednoduchšiu nerovnicu, z ktorej určíme riešenie.

Pri riešení lineárnych nerovníc používame tieto ekvivalentné úpravy:

výmena strán nerovnice a súčasne obrátenie znaku nerovnosti
nahradenie ľubovoľnej strany nerovnice výrazom, ktorý sa jej rovná;
pripočítanie alebo odpočítanie toho istého čísla alebo výrazu s neznámou, ktorý má zmysel pre všetky hodnoty premennej k obidvom (resp. od obidvoch) strán nerovnice,
vynásobenie alebo vydelenie oboch strán nerovnice tým istým kladným číslom alebo výrazom s neznámou (ktorý pre všetky hodnoty premennej nadobúda kladné hodnoty);
vynásobenie alebo vydelenie oboch strán nerovnice záporným číslom alebo výrazom s neznámou, (ktorý pre všetky hodnoty premennej nadobúda záporné hodnoty), (a súčasne obrátenie znaku nerovnosti);
umocnenie oboch strán nerovnice prirodzeným mocniteľom, ak sú obe strany nerovnice nezáporné;
odmocnenie oboch strán nerovnice prirodzeným odmocniteľom, ak sú obe strany nerovnice nezáporné,

Množina konštánt, ktorú zastupuje premenná sa nazýva obor premennej. Pri riešení nerovníc overujeme, či nájdené riešenia patria do požadovaného oboru premennej – teda, či spĺňajú podmienky, ktoré musia hľadané hodnoty neznámej spĺňať.

Riešenie nerovníc typu a.x < b; a.x > b; a.x ≤ b alebo a.x ≥ bpre jednotlivé znaky nerovnosti a v závislosti od znamienka koeficienta a môžeme určiť z tbuľky 1:

Tabuľka 1: Riešenie nerovníc pre jednotlivé znaky v závislosti od znamienka koeficienta a:

	$a.xprec b$	$a.xleq b$	$a.xsucc b$	$a.xsucceq b$
$asucc 0$	$(-infty, rac{b}{a})$	$(-infty, rac{b}{a}>$	$( rac{b}{a},infty)$	$< rac{b}{a},infty)$
$a= 0$	Všetky čísla, ak $bsucc0$ Nemá riešenie, ak $bprec0$	Všetky čísla, ak $bgeq0$ Nemá riešenie, ak $bprec0$	Všetky čísla, ak $bprec0$ Nemá riešenie, ak $bsucc0$	Všetky čísla, ak $bleq0$ Nemá riešenie, ak $bsucc0$
$aprec 0$	$( rac{b}{a}, infty)$	$< rac{b}{a}, infty)$	$(-infty, rac{b}{a})$	$(-infty, rac{b}{a}>$