Lineárne rovnice a ich sústavy

 Vypracovala: Mgr. Mária Martinkovičová, PhD

Rovnica je rovnosť dvoch matematických výrazov ktoré obsahujú tú istú premennú (alebo viaceré premenné). Lineárna rovnica je rovnica, ktorá obsahuje na oboch stranách iba sumu konštánt a prvú mocninu premennej. Lineárna rovnica reprezentuje v sústave karteziánskych súradníc priamku. Všeobecný tvar lineárnej rovnice je

Riešenie takejto rovnice je:     

V takejto rovnici rozlišujeme:

• strany rovnice (pravú a ľavú)

• neznámu (neznáme) – premenná (premenné)

Riešenie (alebo koreň – hodnotu neznámej) rovnice získame riešením rovnice – teda postupom vedúcim k určeniu tej hodnoty (hodnôt) neznámej premennej, pre ktorú obe strany rovnice nadobúdajú rovnakú numerickú (číselnú) hodnotu. Podľa počtu neznámych delíme lineárne rovnice na rovnice s jednou neznámou alebo viacerými neznámymi. Každá lineárna rovnica s jednou neznámou má práve jeden koreň (riešenie) rovnice.

Pri riešení lineárnych rovníc používame ekvivalentné a neekvivalentné úpravy. Ekvivalentné sú také, ktoré nemenia koreň rovnice, t.j. hodnotu neznámej. Z toho vyplýva, že rovnica získaná takouto úpravou bude mať rovnaké korene ako pôvodná rovnica.

Ekvivalentné úpravy rovníc sú:

• Výmena pravej a ľavej strany rovnice

• Pripočítanie alebo odčítanie toho istého čísla k obidvom stranám rovnice

• Vynásobenie alebo vydelenie oboch strán rovnice tým istým číslom, ktoré je rôzne od nuly

Ostatné možné úpravy pri riešení lineárnych rovníc:

• Úprava strán rovnice

• Pripočítanie alebo odčítanie toho istého výrazu k obidvom stranám rovnice

• Vynásobenie oboch strán rovnice rovnakým výrazom

Pri „ostatných“ úpravách však musíme dávať pozor, či rovnica ktorú získame má práve tie isté korene ako pôvodná rovnica. Môžeme sa o tom presvedčiť skúškou správnosti – teda dosadením vypočítaného koreňa do oboch strán pôvodnej rovnice.

Pri riešení lineárnych rovníc používame obyčajne takýto postup:

1. Zjednodušíme obidve strany rovnice

2. Odstránime z rovnice zlomky

3. „Prenesieme“ členy s neznámou na ľavú stranu a čísla na pravú stranu rovnice

4. Upravíme strany rovnice tak, aby sme získali tvar rovnice a.x = b a následne vynásobením (alebo vydelením) obidvoch strán rovnice tým istým nenulovým číslom upravíme rovnicu na tvarn  .

5. Riešenie (koreň) rovnice porovnáme s podmienkami riešiteľnosti.

6. Ak riešenie vyhovuje podmienkam riešiteľnosti, urobíme skúšku správnosti, ak riešenie rovnice nevyhovuje podmienkam, rovnica nemá riešenie.

V prípade, že rovnica obsahuje lomené výrazy, na začiatok určíme podmienky riešiteľnosti - menovatele všetkých lomených výrazov musia byť rôzne od nuly. Následne odstránime z rovnice zlomky a to tak, že rovnicu vynásobíme spoločným menovateľom všetkých lomených výrazov.

Niekedy môžeme pomocou lineárnych rovníc riešiť i slovné úlohy, vtedy postupujeme takto:

1. V riešenom probléme vyberieme najvhodnejšiu veličinu, označíme ju nejakým písmenom = neznáma

2. Použitím vzťahov medzi veličinami vyjadríme pomocou neznámej ostatné veličiny

3. Výrazy, ktorých hodnoty sa majú rovnať, porovnáme, čím zostavíme rovnicu

4. Rovnicu riešime ekvivalentnými úpravami

5. Vykonáme skúšku správnosti a presvedčíme sa, či vypočítaná hodnota neznámej vyhovuje podmienkam úlohy, ktorú sme riešili.

Slovné úlohy ktoré môžeme riešiť pomocou lineárnych rovníc môžeme rozdeliť podľa toho ako sa voči sebe správajú objekty v danej úlohe:

1. Objekty sa pohybujú proti sebe a ak na dráhu vyjdú súčasne a stretnú sa, platí, že objekty sú na dráhe rovnaký čas a celková drahá ktorú prešli je daná súčtom ich dráh, teda vzdialenosti objektov.

2. Objekty sa pohybujú za sebou – dráhy ktoré prejdú k miestu stretnutia sú rovnaké (za podmienky že vyšli z jedného miesta)

3. Objekty konajú spoločnú prácu: pri takýchto typoch úloh najskôr vyjadríme, akú časť práce vykoná jeden objekt za jednu a za x časových jednotiek. Následne vyjadríme, akú časť práce vykonajú obidva objekty za x časových jednotiek, čo sa rovná celej práci, t.j. je rovné 1.

Pokiaľ má rovnica dve neznáme hovoríme o lineárnej rovnici s dvoma neznámymi. Potom sústava dvoch lineárnych rovníc má tvar:

kde a,b,c,d,e,f sú čísla.

Riešením sústavy dvoch lineárnych rovníc, ktoré majú dve neznáme, je dvojica koreňov, ktorá je spoločná pre obidve rovnice. Riešenie sústavy dvoch lineárnych rovníc môže byť jedno riešenie, (usporiadaná dvojica čísel), nekonečne veľa riešení, alebo nemusí mať žiadne riešenie.

Pri riešení sústav dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi používame tieto metódy riešenia:

1. Dosadzovaciu (substitučnú) metódu – tak, že z jednej rovnice vyjadríme jednu z neznámych a tento výraz dosadíme do druhej rovnice. Tým vznikne rovnica s jednou neznámou , ktorú vyriešime. Potom ju dosadíme do prvej rovnice a vypočítame druhú neznámu.

2. Sčítaciu (sčítavaciu) metódu – tak, že vynásobíme jednu alebo obidve rovnice takými číslami, aby sme po sčítaní rovníc dostali jednu rovnicu s jednou neznámou, t.j, „aby nám jedna neznáma po sčítaní rovníc vypadla). Túto rovnicu potom vyriešime a dosadením vypočítame druhú neznámu.

3. Porovnávaciu (komparačnú) metódu) – z oboch rovníc vyjadríme tú istú neznámu a získané výrazy porovnáme. Tak získame jednu rovnicu s jednou neznámou, ktorú vyriešime. Druhú neznámu vypočítame potom dosadením do niektorej z pôvodných rovníc.

4. Grafická metóda – tak, že z oboch rovníc vyjadríme y a nakreslíme grafy príslušných lineárnych funkcií. Súradnice ich priesečníkov sú riešením sústavy lineárnych rovníc. V prípade, že sú grafy rovnobežné a rôzne, tak sústava nemá riešenie. Keď sú grafy totožné, sústava má nekonečne veľa riešení.

Prvé dva spôsoby riešenia si ukážeme na nasledujúcom príklade:

Príklad: Riešte sústavu rovníc:

Riešenie dosadzovacou metódou:

1. Z 1.rovnice vyjadríme y:  

2. Dosadíme do 2.rovnice:  

3. Vpočítaním dostaneme:  

4. Vypočítame druhú neznámu:  

Riešenie sčitovacou metódou:

------------------------------------

-----------------------------------

Po sčítaní rovníc dostaneme:  

Z toho vyjadríme neznámu x:   

Vypočítanú hodnotu x dosadíme do 1 z pôvodných rovníc a vypočítame neznámu y:

Príklad: Jožko dal spolužiakom nasledujúci príklad: Môj dedko chová sliepky a kone. Počet všetkých nôh na dedkovom gazdovskom dvore je 84, počet hláv je 30. Vypočítajte, koľko sliepok a koľko koní chová môj dedko?

Riešenie:

Počet hláv je 30

Počet nôh je 84

Sliepka má 2 nohy a 1 hlavu

Kôň má 4 nohy a 1 hlavu

Sliepky si označíme premennou x

Kone si označíme premennou y

Zostavíme sústavu rovníc:

x+y=30   /.(-2)

2x+4y=84

-2x-2y=-60     sčítame

2x+4y=84

0+2y=24 /:2

y=12

x+12=30

x=18

Sliepky ..........x = 18

Kone..............y = 12

Počet hláv:  18+12=30

Počet nôh: sliepky............18.2=36

kone.................................12.4=48

Spolu: 36+48=84

Jožkov dedko chová 18 sliepok a 12 koní.

Neriešené príklady:

1. Vyriešte sústavu rovníc: 6x + 3y = 30; 3x – 4y = 5

2. Vyriešte sústavu rovníc: 3a + 3 = 2a – 2b; 4a + 3b = 1

Použitá literatúra:

Šedivý O. a kol: Matematika pre 9.ročník základných škôl, SPN, Bratislava

Šedivý O. a kol: Matematika pre 7.ročník základných škôl, SPN, Bratislava

Koreňová L.: Zvládni prijímacie skúšky z matematiky na stredné školy ľahšie a úspešnejšie, Aktuell BA, 2007

vlastné poznámky