Priamka v priestore

Teoretická časť

Majme bod A [a1, a2, a3] a smerový vektor u [u1, u2, u3]. Priamka p prechádza bodom A a je rovnobežná s vektorom u. Jej parametrické vyjadrenie je nasledovné:

x = a1 + t*u1

y = a2 + t*u2

z = a3 + t*u3

Majme dva body v priestore A [a1, a2, a3] a B [b1, b2, b3]. Ich vzdialenosť vypočítame podľa nasledovného vzorca:

 

Majme dve priamky v priestore p a q. Smerový vektor priamky p označme ako „u“ a smerový vektor priamky q ako „v“. Veľkosť uhla, ktorý zvierajú vypočítame podľa nasledovného vzťahu:

 

To sú všetky vzorce, ktoré budeme v rámci tejto témy potrebovať

 

Praktická časť

Zadanie:

Máme dva body: A [2, 2, 2], B [3, 2, -1]. Určite parametrickú rovnicu priamky, ktorá vznikne z týchto dvoch bodov

 

Riešenie:

Vytvoríme si smerový vektor priamky a zvolíme si jeden z bodov. Najvhodnejšie bude vytvoriť smerový vektor AB a zvoliť si bod A.

 

AB = B – A = 3 – 2, 2 – 2, -1 – 2 = 1, 0, -3

A = 2, 2, 2

 

A dosadíme:

 

x = 2 + t

y = 2

z = 2 – 3t

 

 

Zadanie:

Máme dve priamky vyjadrené v parametrickom tvare. Máme určiť ich vzájomnú polohu a veľkosť uhla, ktorý zvierajú.

 

p:                                                                    q:

x = 14 + 2*t                                                    x = 6 – 14*s

y = 6 + 4*t                                                      y = 2 + 4*s

z = 18 – 2*t                                                     z = 2 + 6*s

 

Riešenie:

Určíme si smerové vektory priamok:

 

u_p = [2, 4, -2]

u_q = [-14, 4, 6]

 

Keďže -14/2 = -7, 4/4 = 1 a 6/-2 = -3, t.j. jedna nie je násobkom tej druhej (ten pomer nám vyšiel všade iný), priamky určite nie sú rovnobežné. Ostáva nám teda určiť, či budú rôznobežné alebo mimobežné. Budeme pri tom riešiť sústavu troch rovníc s dvoma neznámymi. Postupujeme tak, že vyriešnime prvé dve rovnice a výsledok dosadíme do tretej rovnice. Ak nám tento v tretej rovnici bude sedieť (po dosadení sa pravá strana rovnice bude rovnať ľavej) priamky sú rôznobežné (majú spoločný bod), ak nie sú to mimobežky a nemajú žiadny spoločný bod. Takže:

 

14 + 2*t = 6 – 14*s ..../*(-2)

6 + 4*t = 2 + 4*s

-28 – 4t + 6 +4t = -12 + 28s + 2 +4s

-22 = -10 + 32s

-12 = 32s

s = -3/8

t = -11/8

 

Toto dosadíme do tretej rovnice:

 

18 – 2*t = 2 + 6*s

18 – 2*(-3/8) = 2 + 6*(-11/8)

17,25 ≠ -6,25

 

Priamky nemajú spoločný bod. Sú to mimobežky.

Jedná sa iba o jednoduché dosadenie do vzorca:

α = 72°

 

Zopakujte si:

1. Aký je parametrický tvar priamky v priestore?

2. Ako vypočítame vzdialenosť dvoch bodov v priestore:

3. Ako vypočítame uhol, ktorý v priestore zvierajú dve priamky?

Použitá literatúra:

Prehľad matematiky 2 od RNDr. Vladimír Burjan a kol.
Vlastné poznámky