Vypracovala: Ing. Petra Podmanická


 

 

Analytická geometria je geometria, ktorá skúma geometrické objekty algebrickými a analytickými metódami. Vyjadruje ich číslami a rovnicami prostredníctvom sústavy súradníc.

 

 

  1. Parametrické rovnice priamky v priestore

     

Majme bod A so súradnicami x1, x2 a x3 a nenulový vektor u so súradnicami u1, u2 a u3, t.j. A [a1, a2, a3], u[u1,u2, u3]. Platí, že pre všetky body X so súradnicami x, y, z (X[x, y, z]), ktoré ležia na priamke p, ktorá prechádza bodom A a je rovnobežná s vektorom u, platia nasledovné vyjadrenia:

 

AX=t*u

čiže

X – A = t* u

X = A + t*u

a po rozpísaní na zložky

x = a1 + t*u1

y = a2 + t*u2

z = a3 + t*u3

 

Priamku v priestore nemôžeme vyjadriť jednou rovnicou, nakoľko jedna rovnica v priestore je analytickým vyjadrením roviny

 

 

  1. Parametrické rovnice roviny v priestore

     

Majme bod A [a1, a2, a3] a dva nenulové, rôznobežné vektory u[u1, u2, u3] a v[v1, v2, v3]. Pre rovinu, ktorá je rovnobežná s oboma vektormi a prechádza ňou bod A, platia nasledovné rovnice, ktoré sme odvodili nasledovným spôsobom:

 

AX=t*u + s*v

čiže

X – A = t* u+ s*v

X = A + t*u+ s*v

a po rozpísaní na zložky

x = a1 + t*u1 + s*v1

y = a2 + t*u2 + s*v2

z = a3 + t*u3 + s*v3



Príklad:

Majme tri body: A[1, 1, 1], B[2, 1, -2], C[3, 0, -1]. Určite parametrické vyjadrenie roviny, ktorá vznikne z týchto bodov

 


Riešenie: Vytvoríme si dva vektory. Napríklad AB, AC. Tieto nesmú byť rovnobežné, to znamená, že jeden nesmie byť násobkom toho druhého:

 

AB = B – A = 1, 0, -3

AC = C – A = 2, -1, -2

 

Tieto nie sú násobkami, takže ich môžeme použiť na vytváranie rovníc.

 

 

Vezmeme si bod A, tieto dva vektory a vytvoríme rovnice:

 

x = 1 + t + 2s

y = 1 – s

z = 1 – 3t – 2s

 

 

  1. Všeobecná rovnica roviny v priestore

     

Všeobecnú rovnicu roviny dostaneme podobne ako to bolo v prípade priamky v rovine z jej parametrického vyjadrenia, a to tak, že odstránime parametre t a s. Budeme teda riešiť sústavu troch rovníc o dvoch neznámych. Všeobecná rovnica roviny má tvar:

a*x + b*y + c*z + d = 0

 

Platí pri tom:

 

  • a = 0 – rovina je rovnobežná s osou

  • b = 0 – roviny je rovnobežná s osou y

  • c = 0 – rovina je rovnobežná s osou

  • d = 0 – roviny prechádza začiatkom súradnicovej sústavy


 

 

Príklad:

Určite všeobecnú rovnicu roviny z predchádzajúceho príkladu.

Riešenie: Ako som už spomínala, všeobecnú rovnicu určíme tak, že odstránime parametre s, t a budeme riešiť tri rovnice o dvoch neznámych. Takže:

 

x = 1 + t + 2s .... /*3 + 3.rovnica

y = 1 – s

z = 1 – 3t – 2s

y = 1 – s ..../*

3x + z = 4 + 4s

4y + 3x + z = 8

4y + 3x + z – 8 = 0


 

 

Použitá literatúra:

 

Vlastné poznámky

Prehľad z matematiky 2 od RNDr. Vladimír Burjan a kol.