Vypracovala: Ing. Petra Podmanická


 

 

Analytická geometria je geometria, ktorá skúma geometrické objekty algebrickými a analytickými metódami. Vyjadruje ich číslami a rovnicami prostredníctvom sústavy súradníc.

 

  1. Vzájomná poloha priamok a rovín v priestore

     

     

  • dve priamky – môžu byť:

     

      • rovnobežné – ak smerový vektor jednej priamky je násobkom smerového vektora druhej priamky

      • totožné – keď splynú v jednu

      • rôznobežné – ak smerový vektor jednej priamky nie je násobkom smerového vektora druhej priamky, ale tieto majú spoločný bod

      • mimobežné – ak smerový vektor jednej priamky nie je násobkom smerového vektora druhej priamky, ale tieto majú spoločný bod. Každá leží v inej rovine

 

  • dve roviny – môžu byť:

     

      • rovnobežné – ak normálový vektor jednej roviny je násobkom normálového vektora druhej roviny, ale parameter d vo všeobecnom vyjadrení rovín je rôzny.

      • totožné – ak normálový vektor jednej roviny je násobkom normálového vektora druhej roviny a rovnajú sa tiež v parametri d.

      • rôznobežné – ak normálový vektor jednej roviny nie je násobkom normálového vektora druhej roviny. Priesečníkom je potom priamka

 

  • priamka a rovina – môžu byť:

     

      • rovnobežné – ak skalárny súčin normálového vektora roviny a smerového vektora priamky je rovný nule. Nemožno nájsť priesečník týchto dvoch priamok

      • rôznobežné - ak skalárny súčin normálového vektora roviny a smerového vektora priamky nie je rovný nule.

      • priamka leží v rovine - ak skalárny súčin normálového vektora roviny a smerového vektora priamky je rovný nule. Možno nájsť priesečník týchto dvoch priamok

 

 

 

  1. Vzdialenosti

     

     

  • vzdialenosť dvoch bodov

Máme dva body v priestore so svojimi súradnicami, t.j. A [a1, a2, a3]

B [b1, b2, b3]. Ich vzdialenosť v priestore vypočítame podľa nasledujúceho vzťahu:

 

|AB| = (b1-a1)2+(b2-a2)2+(b3-a3)2

 

  • vzdialenosť bodu a roviny

Máme bod v priestore so svojimi súradnicami, t.j. A [a1, a2, a3] a rovinu R vyjadrenú vo všeobecnom tvare rovnicou R: ax + by + cz + d = 0. Vzdialenosť bodu od tejto roviny určíme podľa vzťahu:

 

AR= |a*a1+b*a2+c*a3+d|a2+b2+c2

 

  • vzdialenosť bodu a priamky

Vzdialenosť bodu od priamky je vlastne vzdialenosť priesečníka roviny a bodu. Postup v tomto prípade je taký, že v prvom rade cez bod preložíme rovinu tak, aby táto bola kolmá na priamku. Určíme si súradnice priesečníka priamky a roviny a nakoniec vypočítame vzdialenosť bodu a priesečníka, a to podľa vzťahu uvedeného v prvom bode tejto časti, t.j. vzdialenosť dvoch bodov


 

  • vzdialenosť dvoch rovín

Majme dve rovnobežné roviny vyjadrené vo všeobecnom tvare rovnicami:

 

P: a*x + b*y + c*z + d1 = 0

R: a*x + b*y + c*z + d2 = 0

Ich vzdialenosť vypočítame podľa vzorca:

 

v= |d1-d2|a2+b2+c2


 

 

  1. Veľkosti uhlov

 

 

Majme vo všeobecnosti zadaný smerový vektor priamok v priestore ako u pre priamku p a v pre priamku q. Ďalej majme zadané normálové vektory rovín ako r pre rovinu R a p pre rovinu P. Môžeme sa stretnúť s troma typmi príkladov pri výpočte uhlov:

 

  • uhol dvoch priamok v priestore

 

cosα=|u.v||u|.|v|

 

  • uhol priamky p a roviny R v priestore

 

cosα=|u.r||u|.|r|

 

 

  • uhol dvoch rovín

 

cosα=|p.r||p|.|r|



 

Použitá literatúra:

 

Vlastné poznámky

Prehľad z matematiky 2 od RNDr. Vladimír Burjan a kol.