Vypracovala: Ing. Petra Podmanická


 

 

Analytická geometria je geometria, ktorá skúma geometrické objekty algebrickými a analytickými metódami. Vyjadruje ich číslami a rovnicami prostredníctvom sústavy súradníc.

 

 

Existuje viacero vyjadrení lineárnych útvarov v rovine pomocou čísiel a súradníc. Sú to najmä vyjadrenia parametrické, všeobecné a smernicové rovnice a tvary. Ďalej budeme definovať vzájomnú polohu dvoch priamok, uhol dvoch priamok a vzdialenosť bodu od priamky.


 

 

  1. Parametrické rovnice priamky

 

Majme bod A so súradnicami x1 a x2 a nenulový vektor u so súradnicami u1 a u2, t.j. A [a1, a2], u[u1,u2]. Platí, že pre všetky body X so súradnicami x, y (X[x,y]), ktoré ležia na priamke p, ktorá prechádza bodom A a je rovnobežná s vektorom u, platia nasledovné vyjadrenia:

 

AX=t*u

čiže

X – A = t* u

X = A + t*u

a po rozpísaní na zložky

x = a1 + t*u1

y = a2 + t*u2


 

Majme bod B so súradnicami xB, yB. Tento leží na priamke vtedy a len vtedy, ak existuje také reálne t, že po dosadení do parametrických rovníc priamky dostaneme dve rovnice:

 

xB = a1 + t*u1

yB = a2 + t*u2


 

Príklad:

Máte dva body s nasledovnými súradnicami A[2, -2], B[5, 6]. Určite parametrickú rovnicu priamky, ktorú dostanete z týchto dvoch bodov

 

 

Riešenie:

Na to, aby sme dostali parametrickú rovnicu priamky, potrebujeme jeden bod a smerový vektor priamky. Tento si musíme vytvoriť, takže:

 

Bod: A [2, -2]

Smerový vektor: AB = B – A = 5 – 2, 6 – (-2) = AB [3, 8]

 

A teda smerový vektor má súradnice 3, 8. Do všeobecného vyjadrenia dosadíme za body a1, a2. A za hodnoty u1, u2 dosadíme náš smerový vektor, ktorý sme si vypočítali:

 

x = a1 + t*u1

y = a2 + t*u2

x = 2 + 3*t

y = -2 + 8*t

 

  1. Všeobecný tvar priamky

 

Všeobecný tvar rovnice priamky dostaneme z parametrickej rovnice priamky, a to dvoma spôsobmi:

 

  • Elimináciou parametra t – odstránime ho vhodnými úpravami z rovnice

  • Využijeme ten fakt, že normálový vektor priamky je kolmý na smernicový vektor priamky:

     

    •  normálový vektor: z[a, b]

    •  smernicový vektor: s[b, -a]

 

Všeobecná rovnica priamky má teda tvar:

 

a*x + b*y + c = 0

 

 

Príklad:

Máte dva body s nasledovnými súradnicami A[2, -2], B[5, 6]. Určite všeobecnú rovnicu priamky, ktorú dostanete z týchto dvoch bodov

 

 

Riešenie:

Na to, aby sme dostali všeobecnú rovnicu priamky, môžeme postupovať dvoma spôsobmi:

 

  • Elimináciou parametra t:

     

x = 2 + 3*t

y = -2 + 8*t

x = 2 + 3*t .....*8

y = -2 + 8*t ......*-3

8x = 16 + 24t

-3y = 6 – 24t

8x – 3y = 22

8x – 3y – 22 = 0

 

 

  • Využitím vzťahov medzi normálovým a smerovým vektorom

     

Smerový vektor: AB [3, 8]

Normálový vektor: AB [8, -3]

 

Hodnoty normálového vektora dosadíme do všeobecného vyjadrenia:

 

8x – 3y + c = 0

 

Vezmeme súradnice bodu A, dosadíme do rovnice a zistíme hodnotu parametra c

 

8*2 – 3* (-2) = -c

16 + 6 = -c

c = - 22

A rovnica teda vyzerá:

 

8x – 3y – 22 = 0


 

 

Použitá literatúra

 

Vlastné poznámky

Prehľad matematiky 2, od RNDr. Vladimír Burjan a kol.