Analytická geometria lineárnych útvarov v rovine II

Vypracovala: Ing. Petra Podmanická

Analytická geometria je geometria, ktorá skúma geometrické objekty algebrickými a analytickými metódami. Vyjadruje ich číslami a rovnicami prostredníctvom sústavy súradníc.

Existuje viacero vyjadrení lineárnych útvarov v rovine pomocou čísiel a súradníc. Sú to najmä vyjadrenia parametrické, všeobecné a smernicové rovnice a tvary. Ďalej budeme definovať vzájomnú polohu dvoch priamok, uhol dvoch priamok a vzdialenosť bodu od priamky.

1. Smernicový tvar rovnice priamky

Majme bod A so súradnicami x1 a x2 a nenulový vektor u so súradnicami u1 a u2, t.j. A [a1, a2], u[u1,u2]. Platí, že pre všetky body X so súradnicami x, y (X[x,y]), ktoré ležia na priamke p, ktorá prechádza bodom A a je rovnobežná s vektorom u, platia nasledovné vyjadrenia:

• Parametrické vyjadrenie priamky:

   

x = a1 + t*u1

y = a2 + t*u2

• Všeobecné vyjadrenie priamky, ktoré dostaneme z parametrického vyjadrenia:

   

a*x + b*y + c = 0

• Smernicová rovnica priamky, ktorú dostaneme tak, že zo všeobecnej rovnice vyjadríme, čomu sa rovná y:

   

y = k*x + q

Smernicový tvar priamky využívame vtedy, keď priamka nie je rovnobežná s osou y. Pre smernicu priamky (k) platí, že je to tangens orientovaného uhla, ktorý zviera priamka s kladným smerom osi x. q je úsek, ktorý priamka vytína na osi y

Príklad:

Máte dva body s nasledovnými súradnicami A[2, -2], B[5, 6]. Určite smernicovú rovnicu priamky, ktorú dostanete z týchto dvoch bodov

Riešenie:

Na to, aby sme dostali smernicovú rovnicu priamky, potrebujeme jej parametrickú rovnicu, z ktorej vyjadríme všeobecnú rovnicu a túto potom upravíme na smernicový tvar tak, že vyjadríme, čomu sa rovná y.

Parametrická rovnica:

Bod: A [2, -2]

Smerový vektor: AB = B – A = 5 – 2, 6 – (-2) = AB [3, 8]

Z toho všeobecná rovnica:

x = 2 + 3*t .....*8

y = -2 + 8*t ......*-3

A z toho smernicový tvar rovnice priamky:

8x – 22 = 3y

y = 8x/3 – 22/3

2. Vzájomné polohy priamok:

    

   a) na základe ich smerníc

• Rovnobežné – tento prípad nastáva vtedy, ak nám pri riešení príkladu vyjde, že k₁ = L*k₂ (jedna je násobkom tej druhej)

• Kolmé – tento prípad nastáva vtedy, ak nám pri riešení príkladu vyjde, že k₁*k₂ = -1

• Rôznobežné – ak neplatí ani jedno

   

   

  b) inak ako na základe smerníc

• Rôznobežné – je taká dvojica priamok, ktoré ležia v jednej rovine a majú aspoň jeden spoločný bod

• Rovnobežné – sú vtedy, keď priamky ležia v jednej rovine a nemajú spoločný ani jeden bod

• Totožné – práve vtedy, keď priamky splynú v jednu

• Mimobežné – sú vtedy, keď dve priamky neležia v jednej rovine

   

   

   

3. Vzdialenosť bodu od priamky

    

Máme v súradnicovej osi zadaný bod B[x₁, y₁] a priamku p = ax + by + c = 0

Vzdialenosť bodu B od priamky p, vypočítame podľa vzťahu:

4. Uhol dvoch priamok

    

1. Ak sú priamky vyjadrené vo všeobecnom tvare

Máme zadané priamky p = a₁*x + b₁*y + c = 0 a q = a₂*x + b₂*y + c₂ = 0. Uhol, ktorý tieto priamky zvierajú môžeme vypočítať podľa vzorca:

2. Ak sú priamky vyjadrené v smernicovom tvare

    

Máme zadané priamky

p: y = k_1*x + r₁

q: y = k₂*x + r₂

Uhol dvoch priamok vyjadrených v takomto tvare (za predpoklad, že súčin smerníc je iný ako -1) môžeme vypočítať podľa vzorca:

Použitá literatúra

Vlastné poznámky

Prehľad matematiky 2, od RNDr. Vladimír Burjan a kol.