Teoretická časť
Goniometriu si môžeme zadefinovať ako súčasť matematiky, ktorá sa zaoberá goniometrickými funkciami, t.j. sínus, kosínus, tangens a kotangens. Jej súčasťou je tiež tzv. trigonometria, ktorá rieši použitie týchto funkcií v rôznych typoch trojuholníkoch.
Myslím, že kým si začneme definovať nejaké vzorce a vzťahy, ktoré sú pre túto oblasť platné, mali by sme si najskôr tieto jednotlivé funkcie zadefinovať. Vo všeobecnosti sa goniometrické funkcie definujú pomocou tzv. jednotkovej kružnice, čo je nejaká teoretická kružnica s polomerom 1 (tu to však nesmiete chápať ako 1 centimeter, je to jednoducho len jeden, bezrozmerná jednotka)
Jednotková kružnica je vyobrazená na nasledujúcom obrázku a jej bližšie vysvetlenie je pod ním:
Na tejto kružnici sa okrem iného nachádzajú body: P, Q, R,S. Ich vysvetlenie je nasledujúce:
-
Bod P označuje uhol 0° a má súradnice P[1, 0] (môžeme povedať, že je to tiež uhol 360°, čiže 2*p)
-
Bod Q označuje uhol 90°, t.j. uhol p/2 a má súradnice Q [0, 1]
-
Bod R označuje uhol 180°, t.j. uhol p a má súradnice R [-1, 0]
-
Bod S označuje uhol 270°, t.j. 3*p/2 a má súradnice S [-1, -1]
Ďalej sa na kružnici nachádza bod A. Čo si o ňom vieme povedať?
-
Nachádza sa v prvom kvadrante
-
Uhol, ktorý zviera s osou x bude určite v rozhraní 0° a 90°
-
Čisto teoreticky (pre pochopenie) – jeho súradnice by mohli byť napríklad:
-
xA = 0,7
-
yA = 0,8
-
A práve na základe týchto súradníc potom definujeme funkcie sínus a kosínus, a potom pomocou týchto dvoch funkcií tangens a kotangens (tento vás až tak moc nemusí zaujímať, nakoľko, ak sa s ním stretnete, bude to až na stredných školách, aj to nie všetci)
Na nasledujúcich stranách je zadefinovaná každá goniometrická funkcia pomocou tejto jednotkovej kružnice. Pre lepšie pochopenie a predstavu je ku každej funkcii zakreslený jej graf:
Takže
-
Sínus je funkcia, ktorá každému reálnemu číslu priradí druhú súradnicu bodu A, resp. sínus sú y-ové súradnice bodov, t.j. :
sin x = yA
-
Kosínus je funkcia, ktorá každému reálnemu číslu priradí prvú súradnicu bodu A, kosínus sú x-ové súradnice bodov, t.j.:
cos x = xa
-
Tangens je funkcia, ktorá každému reálnemu číslu priradí:
-
Kotangens je funkcia, ktorá každému reálnemu číslu priradí:
Doplňujúce informácie – môžete sa s nimi stretnúť na strednej škole pri riešení príkladov:
Vráťme sa ešte k našej jednotkovej kružnici. Všimnite si, že je rozdelená na 4 časti. Tieto štyri časti nazývame kvadranty, t.j. štvrť kružnice. Pre každý kvadrant je typické, že goniometrická funkcia sa v ňom spáva inak, resp. v rôznych kvadrantoch môžu mať funkcie rôzne znamienka. A keď sa dobre na tu kružnicu pozriete a popremýšľate, prídete k nasledujúcim záverom:
-
Sínus je kladný v prvom a druhom kvadrante, naopak záporný v treťom a štvrtom kvadrante
-
Kosínus je kladný v prvom a štvrtom kvadrante, naopak je záporný v druhom a treťom kvadrante
-
Tangens (podobne je aj kotangens) ako pomer sínusu a kosínusu je kladný tam, kde sú obe funkcie kladné alebo záporné (vychádza to pri prvom a treťom kvadrante) a záporný je tam, kde majú funkcie rozdielne znamienka (druhý a štvrtý kvadrant)
Pre lepšie pochopenie uvádzam prehľadnú tabuľku:
|
|
I.kvadrant
|
II.kvadrant
|
III.kvadrant
|
IV.kvadrant
|
|
Sínus
|
+
|
+
|
-
|
-
|
|
Kosínus
|
+
|
-
|
-
|
+
|
|
Tangens
|
+
|
-
|
+
|
-
|
|
Kotangens
|
+
|
-
|
+
|
-
|
Zopakujte si:
1. Definujte jednotkovú kružnicu2. Definujte všetky goniometrické funkcie
3. Definujte aké hodnoty nadobúdajú goniometrické funkcie v jednotlivých kvadrantoch
Použitá literatúra:
Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.Prehľad z matematiky 2 od RNDr. Vladimír Burjan a kol.
Wikipedia.sk