Teoretická časť
V predchádzajúcom učive sme si zadefinovali a bližšie priblížili, čo sú to vlastne goniometrické funkcie, čiže sme si povedali čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens (definície kotangensu berte naozaj len ako doplnkové učivo pre rozšírenie obzorov tých, ktorí o to majú záujem).
Teraz sa pozrieme a vysvetlíme si, ako sa tieto funkcie počítajú, kde všade sa dajú použiť a napíšeme si aj prehľadnú tabuľku, v ktorej zadefinujeme goniometrické funkcie základných a vo veľkom používaných uhlov.
Vzorce platné pre pravouhlý trojuholník
Nasledujúci obrázok predstavuje pravouhlý trojuholník ABC, so stranami a, b, c, uhlami α, β, γ = 90° (pravý uhol)
Vychádzajúc z tohto obrázka za predpokladu, že
a, b = odvesny c = prepona (je oproti pravému uhlu) α, β = uhly
platia pre sínus, kosínus, tangens a kotangens vzorce, ktoré sú uvedené v nasledujúcej tabuľke, pričom
protiľahlá odvesna je strana, ktorá sa nachádza oproti uhlu priľahlá odvesna je strana, ktorá sa nachádza pri uhle
Tabuľka goniometrických funkcií rôznych uhlov
V nasledujúcej tabuľke sú uvedené hodnoty, ktoré goniometrické funkcie nadobúdajú pre jednotlivé uhly. V prvom riadku je uvedená hodnota uhlov s použitím , čo predstavuje 180° a teda priamy uhol. V druhom riadku sú uvedené priamo hodnoty stupňov. Tabuľka sa číta nasledovne:
sin /2 = sin 90° = 1
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α [°] |
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
120 |
180 |
270 |
360 |
|
sin α |
0 |
|
|
|
1 |
|
0 |
-1 |
0 |
|
cos α |
1 |
|
|
|
0 |
- |
-1 |
0 |
1 |
|
tg α |
0 |
|
1 |
|
∞ |
- |
0 |
∞ |
0 |
|
cotg α |
∞ |
|
1 |
|
0 |
- |
∞ |
0 |
∞ |
Využitie goniometrických funkcií v praxi:
Pomocou vedomostí a aplikácie goniometrických funkcií sa dá odvodiť obsah pravouhlého trojuholníka
Vychádzajme z nasledovného obrázka
kde platí:
v = výška ku prepone, resp. výska na stranu c
táto nám pravý uhol (γ = 90°) rozdeľuje na uhol x a y Na základe viet o podobnosti trojuholníkov môžeme prehlásiť, že
uhol x je totožný s uhlom β uhol y je totožný s uhlom α
a môžeme odvodiť vzorec pre obsah (S) trojuholníka pomocou uhla α a prepony trojuholníka a to nasledujúcim postupom:
-
odvodenie vzťahu pre výšku v trojuholníku
Vieme, že sin α = priľahlá odvesna/prepona = výška/strana b
Vieme tiež, že cos α = protiľahlá odvesna/prepona = strana b/strana c
Do prvej rovnice potom dosadíme druhú rovnicu a vyjadríme vzťah pre výšku v trojuholníku:
Čo do vzorcov:
-
odvodenie samotného obsahu
Vieme, že obsah trojuholníka vypočítame podľa vzťahu S = c*vc/2 a keď za výšku dosadíme vzorec z predchádzajúcej odvodzovačky, dostaneme:
ešte by som chcela podotknúť, že v prípade odvodenia obsahu trojuholníka pomocou odvesien netreba odvodzovať vzorec pre výšku, nakoľko odvesny v pravouhlom trojuholníku sú súčasne aj výškami, tzn. že strana a je výška na stranu b a naopak. Potom vzorec pre povrch trojuholníka prechádza do tvaru :
a z toho pomocou uhlov :
Zopakujte si:
1. Zadefinujte pomocou vzorcov v pravouhlom trojuholníku vzorce pre výpočet sínus, kosínus, tangens2. Ako vypočítame výšku v pravouhlom trojuholníku s využitím goniometrických funkcií?
3. Ako vypočítame obsah v pravouhlom trojuholníku pomocou goniometrických funkcií?
Použitá literatúra:
Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.Prehľad z matematiky 2 od RNDr. Vladimír Burjan a kol.
Wikipedia.sk