Teoretická časť
Racionálne lomená nerovnica je taká, ktorú dostaneme ak racionálne lomenú funkciu upravíme o znaky <, >, alebo
. Sú to nerovnice, ktoré nazývame tiež podielové typy nerovníc.
Racionálne lomená funkcia je funkcia daná podielom dvoch polynómov Pm(x) a Qk(x) a teda daná nasledovným predpisom:
Musí platiť, že Q je nenulový polynóm (ak by bol nulový, celý výraz by nemal zmysel, nakoľko nulou sa deliť nedá)
Takéto rovnice štandardne riešime metódou nulových bodov:
Celú nerovnicu si upravíme do takého tvaru, aby na jej pravej strane bola nula, tzn. všetko, čo je na pravej strane úpravami prehodíme na stranu ľavú. Následne na to prirovnáme menovateľa aj čitateľa k nule a vyriešime, čomu sa rovná naša neznáma. Tieto riešenia nám celý interval (-∞, ∞) rozdelí na podintervaly. Pre každý jeden interval určíme, či je menovateľ a čitateľ kladný alebo záporný. To spravíme tak, že si vyberieme nejakú hodnotu z daného intervalu a dosadíme rovníc tak, ako sú. Zistíme, či sú tieto na danom intervale kladné alebo záporné. Určíme si, aké je výsledné znamienko celej nerovnice (ak jedna rovnica je + a druhá je tiež +, výsledná je +) Ďalší postup závisí od toho, či má byť nerovnica kladná alebo záporná (ak má byť výsledná nerovnica kladná, tak prvý fiktívny interval, ktorý sme teraz vytvorili je riešením).
Praktická časť
Zadanie:
Riešte racionálne lomenú nerovnicu danú predpisom:
x+2*(x2-2x+1)-4-3x+ x2>0
Riešenie:
V prvom rade si danú nerovnicu musíme upraviť tak, aby sa nám s ňou potom ľahko pracovalo. Vrch nerovnice si upravíme na tvar (x + 2)*(x – 1)*(x – 1) a spodok nerovnice si rozložíme na súčin x2 – 3x – 4 = (x – 4)*(x + 1)
Dostaneme teda:
x+2*x-1*(x-1)x-4*(x+1)>0
Použijeme metódu nulových bodov. Prirovnáme menovateľa aj čitateľa k nule a riešime.
(x + 2)*(x – 1)*(x – 1) = 0 x1 = -2 x2 = 1 x3 = 1 (x – 4)*(x + 1) = 0 x4 = -1 x5 = 4
A teda interval nekonečna sme rozdelili na päť podintervalov a tie sú nasledovné:
-
(-∞, -2)
-
(-2, -1)
-
(-1, 1)
-
(1, 4)
-
(4, ∞)
Urobíme si tabuľku, kde si zapíšeme menovateľa, čitateľa, riadok pre výsledné znamienko a všetky intervaly:
|
|
(-∞, -2)
|
(-2, -1)
|
(-1, 1)
|
(1, 4)
|
(4, ∞)
|
|
(x + 2)*(x – 1)*(x – 1)
|
– |
+
|
+
|
+
|
+
|
|
(x – 4)*(x + 1)
|
+
|
+
|
-
|
-
|
+
|
|
Výsledné znamienko
|
-
|
+ |
-
|
-
|
+ |
Z každého intervalu si vyberieme jedno číslo, dosadíme do menovateľa aj čitateľa a určíme, či sú tieto kladné alebo záporné. Nakoniec určíme výsledné znamienko. Naša nerovnosť má byť kladná. Výsledné znamienka tých intervalov, ktoré tomuto vyhovujú sú vyobrazené červenou farbou. (Vyberala som čísla -10, -1.5, 0, 2, 10)
Výsledný interval dostaneme zjednotením správnych výsledkov, t.j.
P = (-2, -1) ∪ (4, ∞)
Nesmieme pri tom zabudnúť na definičný obor, t.j. x ≠ -1, 4 (Naše riešenie toto zahŕňa).
Zopakujte si:
1.Čo sú racionálne lomené nerovnice?2.Ako ich riešime? Popíšte túto metódu
3.Vypočítajte: (5x + 30)/(x2 - 36) > 0
Použitá literatúra:
Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.Vlastné poznámky