Rovnice s neznámou v menovateli sú také, ktoré (ako sám názov hovorí) obsahujú v menovateli neznámu. Pri ich riešení tento fakt nesmieme opomínať, nakoľko ho musíme zahrnúť pri výslednom riešení v podobe vopred stanoveného definičného oboru.


 

Príklad rovnice s neznámou v menovateli:

 

23x+4=3



Pri riešení môžeme postupovať dvoma postupmi:

 

1.Riešenie vedúce k lineárnej rovnici 2x+3x+2+xx+2=2

 

  1. Upravíme si rovnicu do čo najjednoduchšej podoby

  2. Stanovíme definičný obor

  3. Prenásobíme ľavú aj pravú stranu menovateľom

  4. Riešime lineárnu rovnicu

  5. Určíme, či naše riešenie nie je v rozpore s bodom b)

     

     

     

2. Riešenie vedúce ku kvadratickej rovnici – toto vznikne vtedy, keď máme viacero rozdielnych menovateľov, ktorí obsahujú neznámu 2x+3x+1+xx+2=2

 

  1. Upravíme si rovnicu do čo najjednoduchšej podoby

  2. Stanovíme definičný obor

  3. Odstránime menovateľa

  4. Riešime kvadratickú rovnicu

  5. Určíme, či naše riešenie nie je v rozpore s definičným oborom



Praktická časť


Zadanie:

Riešte rovnicu: x+22x-2-2x3x-3=124

 

Riešenie:

Najskôr si teda rovnicu upravíme:


x+22x-2-2x3x-3=124

x+22(x-1)-2x3(x-1)=124


Stanovíme si definičný obor:

D(f): x ≠ 1


Prenásobíme pravú aj ľavú stranu menovateľom tak, aby sme ho odstránili.


x+22(x-1)-2x3(x-1)=124…………/*24(x-1)

12*(x + 2) – 8*2x = x – 1


Riešime túto lineárnu rovnicu:


12*(x + 2) – 8*2x = x – 1

12x + 24 – 16x = x – 1

-5x = -25

x = 5

 

Keďže sme si stanovili definičný obor, v ktorom sme povedali, že x sa nesmie rovnať číslu 1, riešenie x = 5 je vyhovujúce.



Zadanie:

Riešte rovnicu: x+12x-1= 2x-10x+2


Riešenie:

Prvým bodom je úprava rovnice. Táto naša už však v jednoduchom tvare je. Nedá sa v nej nič krátiť.


Stanovíme teda definičný obor a ten je:


D(f): x ≠ -2, ½


Odstránime menovateľov a riešime kvadratickú rovnicu:


x+12x-1= 2x-10x+2…………*2x-1x+2

(x + 1)*(x + 2) = (2x – 10)*(2x – 1)

x2 +2x + x + 2 = 4x2 - 2x - 20x + 10

x2 + 3x + 2 = 4x2 – 22x +10

3x2 – 25x + 8 = 0


A riešime podľa známeho vzorca


x1,2=-b±b2-4ac2a=25±625-4*3*82*3=25±236

x1 = 8

x2 = 2/6 = 1/3


Riešením takejto rovnice sú čísla 8 a 1/3. Vzhľadom na stanovený definičný obor je toto riešenie vyhovujúce.



Zopakujte si:
1.Čo sú rovnice s neznámou v menovateli? (uveďte príklad)
2.Ako ich môžeme riešiť?
3.Riešte rovnicu: (x + 3)(x2 – 9) + 2/(x + 4) = 2


Použitá literatúra:
Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.
Vlastné poznámky