Komplexné čísla – súhrn teórie

Vypracovala: Ing. Petra Podmanická

Komplexné číslo (z) je usporiadaná dvojica reálnych čísel. Množinu komplexných čísiel (C) dostaneme z množiny reálnych čísel (R) tak, že ku R pridáme imaginárnu jednotku i, pre ktorú platí i² = -1

Spôsoby zápisu :

zložkový tvar : z = [a; b]
algebrický tvar : z = a + bi
goniometrický tvar : z = r*(cos φ + i*sin φ), kde r = |z|
exponenciálny tvar : z = r*e^{[i*(φ + 2kπ)]}

Vlastnosti operácií s komplexnými číslami :

komutatívnosť - túto vlastnosť má sčítanie a násobenie

[ a + b = b + a; a*b = b*a]

asociatívnosť - túto vlastnosť má sčítanie a násobenie

[a + (b + c) = (a + b) +c; a*(b*c) = (a*b)*c]

distributívnosť - túto vlastnosť má násobenie, ktoré je distributívne vzhľadom na sčítanie

[(a + b)*c = (a*c) + (b*c)]

Algebrický tvar komplexných čísel

V prípade zápisu komplexného čísla v tvare : z = a + bi, platí, že čísla a, b sú reálne čísla, pričom a je reálna časť a b je imaginárna časť. Číslo i sa nazýva imaginárna jednotka a čísla typu bi sú tzv. rýdzo imaginárne čísla.

Absolútna hodnota komplexného čísla z = a + bi (s využitím Pytagorovej vety) je nezáporné číslo |z| = √(a² + b²), Každé komplexné číslo z, pre ktoré platí |z| = 1 sa nazýva komplexná jednotka.

Komplexne združené číslo : je komplexne združené číslo ku komplexnému číslu z = a + bi.

Geometrický tvar komplexných čísel

Ku každému komplexnému číslu môžeme priradiť práve jeden bod v rovine so súradnicami [x; y], resp. [a; b]. Tento bod sa nazýva obraz komplexného čísla.

V prípade zápisu komplexného čísla v zložkovom tvare : z = [a; b], platí, že a, b sú usporiadanou dvojicou čísel, pričom a je reálna zložka a b je imaginárna zložka. A podobne môžeme povedať, že os x sa nazýva reálna os a os y sa nazýva imaginárna os a zobrazujú sa na ňu rýdzo imaginárne čísla. Súradnicová rovina s obrazmi komplexných čísiel sa nazýva rovina komplexných čísiel alebo Gausova rovina.