Rovnice a nerovnice s neznámou v menovateli

Vypracovala: Ing. Petra Podmanická

Rovnice a nerovnice s neznámou v menovateli sú také, v ktorých sa premenná x nachádza v menovateli. Rovnice sú samozrejme také, kde používame znak rovnosti (=) nerovnice sú tie, pri ktorých používame znaky nerovnosti

1. Nerovnice

Patria medzi podielové typy nerovníc, resp. racionálne lomených nerovníc, čo sú nerovnice, ktoré obsahujú podiel dvoch polynómov:

Pri týchto typoch nerovníc sa treba vyvarovať jednej vážnej chyby, a to tej, že nesmieme prenásobiť celú nerovnicu menovateľom zlomku. Ak by sme nerovnicu prenásobili menovateľom zlomku, odpadol by nám jeden alebo viac intervalov riešenia. Takéto rovnice riešime tak, že riešime menovateľ a čitateľ ako samostatné nerovnice a z čiastkových výsledkov nakoniec spravíme jeden.

Existujú dva typy takýchto nerovníc:

1. Podielový typ je nerovnica typ

    

resp. ak si ju prepíšeme do jednoduchšieho tvaru, kde

a ak si toto po častiach rozpíšeme, dostaneme:

• A/B > 0 – toto nastane, ak menovateľ aj čitateľ budú > 0, resp. ak budú obidvoje záporné

• A/B < 0 – toto nastane, ak bude menovateľ kladný a čitateľ záporný, resp. naopak, čiže čitateľ bude kladný a menovateľ záporný

• A/B ≥0 – toto nastane, ak bude čitateľ ≥ 0 a menovateľ > 0, resp. ak bude čitateľ ≤ 0 a menovateľ < 0

• A/B ≤0 – toto nastane, ak bude čitateľ ≥ 0 a menovateľ < 0, resp. ak bude čitateľ ≤ 0 a menovateľ > 0

2. Súčinový typ predstavuje rozklad kvadratickej rovnice na koreňové činitele. Ak si ju zapíšeme v tvare A*B > < ≥ ≤ 0, tak potom platí:

    

• A*B > 0, toto nastane, ak budú A,B kladné alebo budú obe záporné

• A*B < 0, toto nastane, ak bude A kladné a B záporné, resp. naopak, čiže ak bude A záporné a B kladné

• A*B ≤ 0, toto nastane, ak bude A ≤ 0 a B ≥ 0, resp. ak bude B ≤ 0 a A ≥ 0

• A*B ≥ 0, toto nastane, ak budú obidva prvky väčšie alebo rovné nule, resp. budú menšie alebo rovné nule (oboje)

2. Rovnice

    

    

Pri riešení môžeme postupovať dvoma postupmi:

1. Riešenie vedúce k lineárnej rovnici 2x+3x+2+xx+2=2

    

   1. Upravíme si rovnicu do čo najjednoduchšej podoby

   2. Stanovíme definičný obor

   3. Prenásobíme ľavú aj pravú stranu menovateľom

   4. Riešime lineárnu rovnicu

   5. Určíme, či naše riešenie nie je v rozpore s bodom b)

       

       

2. Riešenie vedúce ku kvadratickej rovnicu – toto vznikne vtedy, keď máme viacero rozdielnych menovateľov, ktorí obsahujú neznámu 2x+3x+1+xx+2=2

    

   1. Upravíme si rovnicu do čo najjednoduchšej podoby

   2. Stanovíme definičný obor

   3. Odstránime menovateľa

   4. Riešime kvadratickú rovnicu

   5. Určíme, či naše riešenie nie je v rozpore s definičným oborom

Použitá literatúra:

Zbierka vzorcov z matematiky od RNDr. Marián Olejár a kol.

Vlastné poznámky