Mocninová funkcia

Def: Funkcia v tvare , sa nazýva mocninová funkcia.

Ak, , potom hovoríme o mocninovej funkcii s prirodzeným exponentom.

Ak, , potom hovoríme o mocninovej funkcii s celým záporným exponentom.

Ak, exponent je v tvare , potom hovoríme o mocninovej funkcii s racionálnym exponentom.

 

I. Vlastnosti mocninovej funkcie s prirodzeným exponentom

 

1. Ak n je nepárne, tak

   1. D(f) = R

   2. H(f) = R

   3. rastúca na celom D(f)

   4. nepárna,

   5. nie je ohraničená ani zhora ani zdola,

   6. nemá v žiadnom bode D(f) ani maximum ani minimum

   7. prostá

 

 

2. Ak n je párne, tak

1. D(f) = R

2. H(f) ,

3. klesajúca na a rastúca na ,

4. párna,

5. zdola ohraničená, zhora nie je ohraničená,

6. v bode 0 má minimum, maximum nemá

7. nie je prostá

 

 

 

II. Vlastnosti mocninovej funkcie s celým záporným exponentom:

 

 

1. Ak n Z^-, n je párne

 

1. D(f) = (-∞;0) (0;∞)

2. H(f) = (0;∞)

3. párna

4. je ohraničená zdola, nie je ohraničená zhora

5. je rastúca pre x (-∞;0), je klesajúca pre x (0;∞)

6. nemá maximum ani minimum

7. nie je prostá

 

 

2. Ak n Z^-, n je nepárne

 

1. D(f) = (-∞;0) (0;∞)

2. H(f) = (-∞;0) (0;∞)

3. nepárna

4. nie je ohraničená ani zhora, ani zdola

5. je klesajúca pre x (-∞;0) a x (0;∞)

6. nemá maximum ani minimum

7. je prostá

 

 

 

III. Vlastnosti mocninovej funkcie s racionálnym exponentom

 

Ak špeciálne m = 1, tak dostaneme funkciu v tvare , n  N (vtedy hovoríme, že y je n-tou odmocninou čísla x)

 

Vlastnosti mocninovej funkcie s racionálnym exponentom

 

 

1. Ak n je nepárne, tak

 

1. D(f)= R

2. H(f)= R,

3. rastúca,

4. nepárna,

5. nie je ohraničená ani zhora ani zdola,

6. nemá v žiadnom bode D(f) ani maximum ani minimum

7. je prostá

 

 

2. Ak n je párne, tak

 

1. D(f) = < 0, ∞ )

2. H(f) = < 0, ∞ )

3. rastúca,

4. ani párna, ani nepárna

5. je zdola ohraničená, zhora nie je ohraničená,

6. v bode 0 má minimum, maximum nemá

7. je prostá

Poznámka:

Mocninovú funkciu s racionálnym exponentom možno zapísať v tvare (vtedy hovoríme, že y je n-tou odmocninou z čísla x^m).

 

 

Riešené príklady:

 

Pr.1. Načrtni graf funkcie a urči jej vlastnosti: f: 

.

Riešenie. Pre načrtnutie grafu využijeme možnosť posúvania grafu po číselných osiach.

Graf funkcie     zostrojím posúvaním pôvodnej funkcie

v dvoch smeroch:

1. po osi x o  veľkosť a v opačnom smere ako je znamienko, ( ak je +, potom posúvam graf doľava, ak je – potom posúvam graf doprava)

2. po osi y o veľkosť b v smere znamienka

 

V našom prípade teda máme mocninovú funkciu s celým záporným exponentom; n = -1, teda budeme posúvať graf funkcie y

1. po osi x o 1 smerom doprava

2. po osi y o 2 smerom hore

 

 

Vlastnosti danej funkcie sú:

 

D(f) = (-∞, 1) U (1, ∞)

H(f) = (-∞, 2) U (2, ∞)

Monotónnosť: klesajúca na celom D(f)

Extrémy: nemá maximum ani minimum

Ohraničená: neohraničená ani zdola ani zhora

Párnosť/nepárnosť: ani párna ani nepárna

Prostosť: prostá

Poznámka: Takýmto spôsobom zostrojíme graf každej mocninovej funkcie.

Pr.2: Urči definičný obor funkcie   . (výpočtom)

Riešenie: Ide o mocninovú funkciu s racionálnym exponentom, keďže danú funkciu si vieme predstaviť i v tvare   .

Pri výpočte D(f) budeme vychádzať z toho, že na pravej strane je výraz pod odmocninou a pre takýto výraz platí, že musí byť nezáporný, teda:

–

 

 

 

Použitá literatúra:

Vlastné poznámky
RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách