Vlastnosti goniometrických funkcií

Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová

Goniometrická funkcia v matematike je termín používaný pre jednu zo šiestich funkcií veľkosti uhla používaných pri skúmaní trojuholníkov a periodických javov (sínus, kosínus, tangens, kotangens, sekans a kosekans- najčastejšie používané sú prvé štyri funkcie). Goniometrické funkcie sú základom goniometrie. Obvykle sa definujú ako pomer dvoch strán pravouhlého trojuholníka alebo dĺžky určitých častí úsečiek v jednotkovej kružnici.

1. Sínus

DEF: Funkcia sínus sa nazýva funkcia, ktorá na množine R pre všetky x є R priraďuje y_M.

Píšeme: y = sin x, sin x : x y_M

Pozn:

Pri použití jednotkovej kružnice funkciu sínus určujeme na osi y. Môžeme to odôvodniť aj definíciou funkcie sínus z pravouhlého trojuholníka:

sin α = protiľahlá odvesna / prepona = y / 1 = y

Grafom funkcie sínus je sínusoida.

Vlastnosti funkcie y = sin x:

1. D(f) = R

2. H(f) = ‹-1, 1›

3. monotónnosť: rastúca ‹ -π/2 +2kπ, π/2+2kπ ›

    klesajúca ‹ π/2+2kπ, 3π/2+2kπ ›, k є Z

4. párnosť - nepárnosť: funkcia je nepárna sin (-x) = - sin x, (graf je súmerný podľa počiatku)

5. ohraničenosť: funkcia je ohraničená na celom D(f) hodnotami -1, 1

6. extrémy: minimum má funkcia v bode -π/2 +2kπ

     maximum má funkcia v bode π/2 +2kπ

7. Spojitosť: spojitá v R

8. Periodickosť: funkcia je periodická s základnou periódou p = 2π, platí

sin x = sin (x+2kπ)

1. Kosínus

DEF: Funkcia kosínus sa nazýva funkcia, ktorá na množine R pre všetky x є R priraďuje x_M.

Píšeme: y = cos x, cos x : x x_M

Pozn:

Pri použití jednotkovej kružnice funkciu kosínus určujeme na osi x. Môžeme to odôvodniť aj definíciou funkcie kosínus z pravouhlého trojuholníka:

sin α = priľahlá odvesna / prepona = x / 1 = x

Grafom funkcie kosínus je kosinusoida

Vlastnosti funkcie y = cos x :

1. D(f) = R

2. H(f) = ‹-1, 1›

3. monotónnosť: rastúca ‹ π +2kπ, 2π +2kπ ›

    klesajúca ‹ 2kπ, π +2kπ ›, k є Z

4. párnosť-nepárnosť: funkcia je párna cos (-x) = cos x, (graf je súmerný podľa osi y)

5. ohraničenosť: funkcia je ohraničená na celom D(f) hodnotami -1, 1

6. extrémy: minimum má funkcia v bode π +2kπ

     maximum má funkcia v bode 2kπ

7. Spojitosť: spojitá v R

8. Periodickosť: funkcia je periodická s základnou periódou p = 2π, platí

cos x = cos (x+2kπ)

3. Tangens

DEF: Funkcia tangens sa nazýva funkcia daná rovnicou y = sin x / cos x, x je rôzne od π/2+2kπ.

Píšeme: y = tg x

Pozn:

Pri použití jednotkovej kružnice funkciu tangens určujeme na priamke rovnobežnej s osou y a prechádzajúcou 1 alebo -1 na osi x. Podľa definície z jednotkovej kružnice je funkcia tangens daná: tg α = |AB| / 1 = |AB|

Grafom funkcie kosínus je tangentoida.

Vlastnosti funkcie y = tg x :

1. D(f) = R - {(2k+1)π/2}; k є Z

2. H(f) = R

3. monotónnosť: rastúca na intervaloch (-π/2 + kπ, π/2 + kπ)

4. párnosť - nepárnosť: funkcia je nepárna tg (-x) = - tg x(graf je súmerný podľa počiatku)

5. ohraničenosť: funkcia nie je ohraničená na celom D(f)

6. extrémy: na D(f) neexistujú

7. Spojitosť: nie je definovaná pre (2k+1)π/2

8. Periodickosť: funkcia je periodická s základnou periódou p = π, platí

tg x = tg (x+kπ)

4. Kotangens

DEF: Funkcia kotangens sa nazýva funkcia daná rovnicou y = cos x / sin x, x je rôzne od kπ.

Píšeme: y = cotg x

Pozn:

Pri použití jednotkovej kružnice funkciu kotangensnurčujeme na priamke rovnobežnej s osou x a prechádzajúcou 1 alebo -1 na osi y. Podľa definície z jednotkovej kružnice je funkcia tangens daná cotg α = |BC| / 1 = |BC|.

Grafom funkcie kosínus je kotangentoida.

Vlastnosti funkcie y = cotg x :

1. D(f) = R - {kπ}; k є Z

2. H(f) = R

3. monotónnosť: klesajúca na intervaloch (kπ, π + kπ)

4. párnosť - nepárnosť: funkcia je nepárna cotg (-x) = - cotg x, (graf je súmerný podľa počiatku)

5. ohraničenosť: funkcia nie je ohraničená na celom D(f)

6. extrémy: na D(f) neexistujú

7. Spojitosť: nie je definovaná pre kπ

8. Periodickosť: funkcia je periodická s základnou periódou p = π, platí

cotg x = cotg (x+kπ)

Použitá literatúra:

RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách

Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite - MATEMATIKA

vlastné poznámky

www.wikipedia.org

http://leccos.com/index.php/clanky/sinusoida#top

http://leccos.com/index.php/clanky/kosinusoida