Funkcie I

Vypracovala: Mgr. Mária Martinkovičová, PhD.

Funkcia je jeden z najvýznamnejších a najdôležitejších matematických pojmov, používa sa okrem matematiky v rôznych, hlavne technických odboroch.

V matematike pod funkčnou závislosťou rozumieme jednoznačné priradenie medzi číselnými hodnotami premenných.

Majme neprázdne množiny reálnych čísel A a B. (A ⊂ R, B = R). Ku každému číslu x (x = premenná, resp. argument funkcie f; x ∈ A) priradíme práve jedno y, (y = hodnota premennej, y ∈ B; resp. hodnota funkcie f v bode x – f(x)), čím dostaneme množinu f usporiadaných dvojíc (x, y) - reálnych čísel, ktoré voláme reálna funkcia reálnej premennej x.

Definičný obor funkcie f - D(f) je množina všetkých hodnôt premennej x.

Obor hodnôt funkcie f, H(f) je množina všetkých hodnôt funkcie f.

Pravouhlú sústavu súradníc zavedieme pomocou dvoch na seba kolmých číselných osí pretínajúcich sa v bode 0. Následne môžeme každému bodu v rovine priradiť usporiadanú dvojicu čísel a každej dvojici čísel môžeme priradiť bod v rovine. Začiatkom pravouhlej sústavy súradníc je bod 0, súradnicové osi označujeme ako x, y.

Priesečník s osou x má súradnice P_x = [x;0] a priesečník s osou y má súradnice P_y = [0;y].

Priesečník môžeme zistiť:

• dosadením známej hodnoty do predpisu danej funkcie a riešením rovnice s jednou neznámou (dopočítame druhú súradnicu)

• čítaním z grafu, napr. na obr. 1 je priesečník s osou x jeden: P_x = [4, 0] a jeden s osou z y: P_y = [0,4].

Napríklad, majme danú funkciu f: y = 4x – 8 a máme určiť hodnotu funkcie f pre x = -4.

Riešenie: V predpise funkcie dosadíme za x -4:

f(-4) = 4. (-4) – 8 = -24

Funkčnou hodnotou v bode -4 je teda hodnota -24.

Obr. 1: graf 1

Funkcia môže byť daná

a) analyticky – teda rovnicou v tvare y = f(x), v ktorom f(x) je výraz s premennou x, napr. y = 2x – 7 alebo y = x + x - 3

b) graficky – t.j. grafom funkcie

c) vymenovaním usporiadaných dvojíc – zväčša forme tabuľky.

Lineárna funkcia je funkcia, ktorá je daná rovnicou y = ax + b. a, b sú reálne čísla.

Grafom takejto je priamka alebo jej časť. Zostrojiť graf lineárnej funkcie môžeme ak poznáme súradnice dvoch jej bodov.

Konštantná (lineárna) funkcia - o konštantnej funkcii hovoríme vtedy, ak v predpise lineárnej funkcie y = ax + b je a = 0. Grafom takejto funkcie je priamka, ktorá je rovnobežná s osou x a prechádza bodom [0; b] (obr. 2).

Obr. 2: Konštantná funkcia (lineárna)

Priama úmernosť – o priamej úmernosti hovoríme vtedy, ak v predpise lineárnej funkcie y = ax + b je b = 0 a y je potom y = ax. Grafom takejto ineárnej funkcie je priamka prechádzajúca začiatkom súradnicového systému – bodom [0;0].

Ak v predpise lineárnej funkcie y = ax + b je b = 0, potom y = ax. V tomto prípade hovoríme o tzv. priamej úmernosti, ktorej grafom je priamka, ktorá vždy prechádza začiatkom súradnicového systému, teda bodom [0; 0] (obr. 3).

Obr. 3: Graf priamej úmernosti

Lineárna funkcia je:

•  rastúca – ak a >0

•  klesajúca – ak a <0

Otázky:

1. Urč rovnicu lineárnej funkcie, ktorá nadobúda v čísle -1 hodnotu -3 a v čísle 2 hodnotu 10.

2. Pri akej hodnote x budú funkcie y = 2x + 1 a y = x + 5 mať zhodnú funkčnú hodnotu?

Použitá literatúra:

Koreňová, L.: Zvládni prijímacie skúšky z matematiky na stredné školy, Aktuell, Bratislava, 2007, ISBN 80-89153-32-1

http://pohodovamatematika.sk/vyklad-uciva/algebra/funkcie/

vlastné poznámky

Zdroje obrázkov:

http://www.mathexpression.com/solve-system-of-linear-equations-graphically.html