Vypracovala: PaedDr. Elena Šimová




DEF: Geometrické zobrazenie v rovine nazývame podobným zobrazením (podobnosťou) , ak každému bodu roviny X je priradený jeho obraz X´ tak, že pre každé dve usporiadané dvojice [X;X´] a [Y;Y´] vzorov a obrazov platí: |X´Y´| = k . |XY|, kde k > 0 je konštanta nazývaná koeficient podobnosti


 

Podľa koeficientu podobnosti rozlišujeme tri možnosti podobnosti:

 

  1. k = 1 podobnosť nazývame zhodnosťou.

  2. k > 1 podobnosť nazývame zväčšenie

  3. 0 < k < 1 podobnosť nazývame zmenšenie



Dva útvary U a U´ nazývame podobnými, ak sa dá nájsť podobné zobrazenie, ktoré zobrazí útvar U na útvar U´. Píšeme U ~ U´


Dva trojuholníky ABC, A´B´C´ sú podobné práve vtedy, keď existuje také kladné číslo k, že platí: |A´B´| / |AB| = |B´C´| / |BC| = |A´C´| / |AC| = k



Pre podobnosť trojuholníkov platia tieto vety:


Dva trojuholníky sú podobné, ak:

 

  1. sa zhodujú v dvoch uhloch......uu

  2. sú rovnaké pomery dĺžok príslušných strán a ak sú zhodné uhly nimi zvierané.........sus

  3. sú rovnaké pomery dĺžok dvoch strán a ak sa rovnajú veľkosti uhlov ležiacich oproti väčšej z nich........Ssu



 

Pozn 1: V podobných trojuholníkoch sú pomery dĺžok odpovedajúcich si výšok rovnaké ako pomery dĺžok odpovedajúcich si strán.

 

Pozn 2: Obvody podobných trojuholníkov sú v rovnakom pomere ako pomery odpovedajúcich si strán: O1 : O2 = a1 : a2 = b1 : b2 = c1 : c2 = k

 

Pozn 3: Obsahy podobných trojuholníkov sú v pomere druhých mocnín dĺžok odpovedajúcich si strán: S1 : S2 = a12 : a22 = b12 : b22 = c12 : c22 = k2

 

Pozn 4: Využitie v praxi: zväčšenie/zmenšenie geometrických útvarov, konštrukcia plánov. máp, delenie úsečiek v danom pomere, dôkazové úlohy, výpočtové a konštrukčné úlohy....



 

DEF: Rovnoľahlosť = homotetia H(S, χ) so stredom S a koeficientom rovnoľahlosti χ є R - {0} je podobné zobrazenie v rovine, ktoré bodu S priraďuje jeho obraz S´=S a každému bodu X rôzneho od S priraďuje taký bod X´, že pre všetky vektory (orientované úsečky) SX a SX´ platí |SX´|= χ . |SX|



 

Pozn.:

 

  • Každá rovnoľahosť s koeficientom χ je podobnosť s pomerom podobnosti k = | χ |

  • Ak je χ = 1, ide o identitu

  • Ak je χ = 1, ide o stredovú súmernosť

  • Ak χ = 1, sú v danej rovnoľahlosti samodružné všetky body roviny.

  • Ak χ je rôzne od 1, má rovnoľahlosť práve jeden samodružný bod, a to stred rovnoľahlosti S.



Vety rovnoľahlosti:


  1. Obrazom ľubovoľnej priamky p je v rovnoľahlosti H(S ,χ) priamka p´ rovnobežná s danou priamkou.

  2. Obrazom ľubovoľnej úsečky AB je v každej rovnoľahlosti H(S ,χ) úsečka A´B´, pre ktorú platí: AB || A´B´ ^ |A´B´|= | χ |. |AB| Každé dve rovnobežné úsečky, ktoré nie sú zhodné, sú rovnoľahlé dvomi spôsobmi.

     

    Zdroj: PaedDr. Elena Šimová

     

  1. Každé dve nezhodné kružnice k(O,r), k´(O´r´) sú rovnoľahlé dvomi spôsobmi. Stredy rovnoľahlosti kružníc S1 a S2 ležia na priamke prechádzajúcej stredmi kružníc a koeficienty rovnoľahlosti sú χ = r/ r´., χ = - r / r´. Bod S2, ktorý leží vo vnútri úsečky OO´ je vnútorný stred rovnoľahlosti, bod S1 ležiaci zvonku úsečky OOˇ je vonkajší stred rovnoľahlosti.


Zdroj: PaedDr. Elena Šimová

 

  1. Spoločné dotyčnice nezhodných kružníc prechádzajú príslušnými stredmi rovnoľahlosti.

  2. Jedným stredom rovnoľahlosti dvoch dotýkajúcich sa kružníc je bod dotyku.

  3. Zložením dvoch podobností s koeficientom k1, k2 je podobnosť s koeficientom k1. k2.

  4. Každé podobné zobrazenie v rovine možno vyjadriť ako zloženie rovnoľahlosti a zhodnosti.



 

Použitá literatúra:

 

RNDr. Marta Rácová – Matematika – prehľad stredoškolského učiva pre maturantov a uchádzačov o štúdium na vysokých školách

Zdeněk Vošický – krok za krokom k maturite – MATEMATIKA

Vlastné poznámky